PhysikSkript

Selbstinduktion

Die Selbstinduktion

In der unten abgebildeten Schaltung ist die Lampe L1 und eine Spule mit Eisenkern zu einer baugleichen Lampe L2 und einem Widerstand R parallel geschaltet. Der Widerstand R ist genau so gro gewhlt, wie der Widerstand der Spule.

Experiment: ber den Schalter wird der Stromkreis geschlossen. Wir beobachten, dass L2 sofort mit dem Umlegen des Schalters leuchtet. L1 leuchtet jedoch erst mit Verzgerung: Innerhalb einer Sekunde steigt ihre Helligkeit auf das Niveau von L1.
Doch wie kommt diese zeitliche Verzgerung zustande?

Erklrung: Kurz nach dem Umlegen des Schalters fliet durch die Spule jetzt mehr und mehr Strom. Mit dem Strom baut sich auch das Magnetfeld der Spule

immer mehr auf, wodurch auch der magnetische Fluss Φ = AB durch die Spule ansteigt:

Offenbar wird nun, durch den steigenden Fluss, in der Spule selbst eine Spannung
induziert, welche der Spannung des Netzgertes entgegen gerichtet ist. Das verzgert das Ansteigen des Stromes durch die Spule und durch die Lampe L1. Erst, wenn der maximale Strom durch die Spule I_Max erreicht ist, ndert sich der magnetische Fluss durch die Spule nicht mehr, und der Strom kann ungehindert durch sie hindurch flieen. Erst jetzt leuchtet sie also gleich hell wie die Lampe L2.

Zusammengefasst:

  • Wir der Strom durch eine Spule eingeschalten, so baut sich das Spulenfeld auf und der magnetische Fluss durch die Spule erhht sich. Dadurch wird in die Spule selbst eine Spannung induziert. Diesen Vorgang nennt man Selbstinduktion.
  • Die Induktionsspannung ist gem der Lenz'schen Regel so gerichtet, dass er das Ansteigen des Spulenstroms (und damit seiner Ursache) entgegen wirkt.

Die Induktivitt (oder auch Eigeninduktivitt)

Knnen wir die "Eigeninduktionsspannung" auch berechnen?

Nun: Die Ableitung des Stroms I' gibt an, um wie viel Ampere der Strom pro Sekunde ansteigt. Weil my0, myr, N und l konstant sind, steigt B mit der Rate

an. Bei konstant bleibender Spulenflche wchst der magnetische Fluss Phi durch die Spule proportional zur magnetischen Flussdichte B an:

Da es sich bei der Feldspule auch um die Induktionsspule handelt, ist n = N, woraus fr die Induktionsspannung nun folgt:

Im Prinzip haben wir unser Ziel, die Eigeninduktionsspannung zu berechnen, erreicht. Allerdings ist der Formelausdruck recht kompliziert. Mit einer hilfreichen neuen physikalischen Gre, knnen wir ihn stark vereinfachen:
Der Vorfaktor von I' besteht nur aus konstanten Spuleneigenschaften. In der Physik nennt man den von den Spuleneigenschaften abhngigen Faktor

auch die Induktivitt (auch: Eigeninduktivitt) der Spule. Die Induktivitt ist eine Spuleneigenschaft. Je grer die Induktivitt einer Spule ist, desto grer ist die in ihr induzierte Spannung bei gleichbleibender nderungsrate des durch ihr flieenden Stromes:

Die Einheit von L wird Henry genannt:

Zusammengefasst:

  • ndert sich der Strom durch eine Spule, so wird in diese Spule eine Spannung induziert, welche durch die folgende Gleichung berechnet werden kann:
  • Der Faktor L ist eine Spuleneigenschaft, die mit Induktivitt bezeichnet wird. Von ihr hngt ab, wie gro die Induktionsspannung bei nderung des Spulenstroms ist.
  • Die Induktivitt einer lang gestreckten Spule kann man berechnen durch

Selbstinduktion - Der Einschaltvorgang

In diesem Abschnitt werden wir eine Funktion finden, die den Anstieg des Spulenstroms beim Einschaltvorgang richtig beschreibt. hnlich wie beim Lade/Entladevorgang von Kondensatoren, fhrt auch hier der Weg ber eine Differentialgleichung, die wir jetzt herleiten.

Die Gesamtspannung U'(t) an der Spule setzt sich beim Einschaltvorgang aus der von auen angelegten Spannung U0 und der Induktionsspannung zum Zeitpunkt t

zusammen:

Die Spule hat den Widerstand R, ber den sich mit U(t) der durch sie und den Stromkreis flieenden Strom I(t) berechnen lsst:

Hieraus erhalten wir schlielich die Differentialgleichung fr den Einschaltvorgang.

Hat sich das B-Feld fertig aufgebaut und ist daher Uind = 0, so fliet der maximale Strom

. Mit dieser Bezeichnung erhalten wir fr unsere DGL die entgltige Form:

Wir suchen jetzt eine Funktion fr den Strom, welche die DGL erfllt.

Experiment:
Um einen Ansatz fr die Stromfunktion I(t) zu erhalten, zeichnen wir mit CASSY den Messwertgraphen aus obiger Schaltung. Der Graph (nicht im Skript enthalten) legt folgenden Ansatz fr die Funktion nahe:

Ergebnis: Ansatz:

wobei lambda eine noch zu bestimmende Konstante ist.
Fr die Ableitung folgt

Wir prfen den Ansatz durch Einsetzen in die DGL und prfen, unter welcher Bedingung er sie erfllt:

... wir ziehen beidseitig I_max ab ...

... und teilen durch die gemeinsamen Faktoren...

... woraus fr lambda folgt:

Die DGL wird also durch folgende Funktion gelst:

Die Funktion gibt die Stromstrke durch die Spule zum Zeitpunkt t nach dem Einschalten wieder.

Zusammengefasst:

  • Der Verlauf des Spulenstroms beim Einschaltvorgang einer Spule wird durch folgende Differentialgleichung beschrieben:
  • Die DGL wird durch diese Funktion gelst:

Selbstinduktion - Der Ausschaltvorgang

Ist der Schalter S geschlossen, so besteht in der Spule ein Magnetfeld, welches durch den Strom verursacht wird.
Wird der Schalter dann geffnet, verursacht das Abfallen des magnetischen Flusses eine Induktionsspannung, welche ihrer Ursache (d.h. dem abfallenden Strom) entgegen wirkt. Damit wird der Stromfluss ber den inneren Stromkreis aufrecht erhalten.
Der Strom zirkuliert somit im inneren Stromkreis. Aufgrund des Widerstands R der Spule, wandelt sich die elektrische Energie nach und nach in Wrme um, wodurch der von der Induktionsspannung verursachte Strom langsam abebbt.

Wir wollen nun versuchen, eine Funktion I(t) zu finden, welche den zeitlichen Verlauf des abebbenden Stroms nach Schalterffnung richtig beschreibt. Dazu stellen wir zunchst eine DGL auf:
Die Spannung UR am Spulenwiderstand ist gleich der Induktionsspannung. Wegen U=I*R folgt:

Durch Umformungen folgt die gesuchte Differentialgleichung fr den Ausschaltvorgang:

Doch welche Funktion fr I(t) lst diese Differentialgleichung?

Experiment:
Um einen Ansatz zu finden, zeichnen wir experimentell die Messwertkurve fr I(t) mit dem CASSY auf. Dabei stellen wir einen exponentiellen Abfall fest. Die Vermutung liegt also nahe, dass folgender Ansatz den Verlauf des Stroms richtig beschreibt:

Prfung des Ansatzes:
Wir knnen den Ansatz prfen, indem wir ihn in die DGL einsetzen und prfen, ob er die Gleichung erfllt.
Fr die Ableitung von des Stromes I'(t) folgt aus dem obigen Ansatz:

Setzen wir die Funktion und ihre Ableitung in die DGL ein, erhalten wir

Teilt man die Gleichung durch den Faktor

, so bekommen wir

Hieraus folgt direkt

wodurch wir die folgende Funktion gefunden haben, die den zeitlichen Verlauf des Stroms richtig beschreibt:

Zusammengefasst:

  • Der Verlauf des Spulenstroms beim Ausschaltvorgang einer Spule wird durch folgende Differentialgleichung beschrieben:
  • Die DGL wird durch diese Funktion gelst:

Die Halbwertszeit des Stromes beim Ausschaltvorgang

ber die Stromfunktion I(t) knnen wir jetzt leicht herausfinden, wie lange es dauert, bis der induzierte Strom auf die Hlfte seiner ursprnglichen Gre abgesunken ist:

Beidseitiges Logarithmieren ergibt schlielich

Zusammengefasst:

  • Die Zeit, innerhalb der sich der Strom beim Ausschaltvorgang einer Spule halbiert, betrgt

94.Das RL-Glied

Sind Induktivitt und Widerstand, wie unten dargestellt, in Reihe geschaltet, so spricht man vom RL-Glied.

Wir knnen den Strom I(t) zum Zeitpunkt t mit den in den obigen Abschnitten hergeleiteten Formeln berechnen. Der Widerstand R entspricht der Summe der mit der Spule in Reihe liegenden Widerstnden.
Fr den Einschaltvorgang verwendet man

mit

Fr den Ausschaltvorgang entsprechend

mit

Energie des magnetischen Feldes

Ist in der oben dargestellten Schaltung der Schalter geschlossen, so fliet nur ber die Spule ein Strom, da die Diode den Stromfluss in gleicher Richtung ber den Propeller verhindert.
ffnet man den Schalter, so baut sich das Magnetfeld in der Spule ab und verursacht einen Induktionsstrom. Die Elektronen flieen im Uhrzeigersinn durch den inneren Stromkreis - und damit in Durchlassrichtung der Diode. Wir beobachten, dass sich der Propeller dreht.
... doch: Warum dreht sich der Propeller? Schlielich kann wegen des offenen Schalters keine Energie mehr von der Stromquelle nachflieen.

Offenbar ist im magnetischen Feld Energie gespeichert. Bei Verringerung des magnetischen Flusses wandelt sich die Energie dieses Feldes dann ber den Induktionsstrom in elektrische Energie um.
Wir werden jetzt versuchen, eine Formel zu finden, mit der wir ausrechnen knnen, wie viel Energie in dem Feld einer Spule mit Induktivitt L steckt, wenn wir den Strom I durch sie hindurch flieen lassen. Dazu betrachten wir diesen Ausschaltvorgang genauer:

Die Leistung, die im ganzen inneren Stromkreis geleistet wird, lsst sich einfach berechnen:

Bezeichner R den elektrischen Widerstand des Kreises, so kann man U durch U = I * R ausdrcken.

Leistung ist definiert als Arbeit pro Zeit. Das bedeutet: Im Zeitraum Δt gilt fr die ber diesen Zeitraum durchschnittliche Leistung

Die momentane Leistung zu einem Zeitpunkt t ist dann

Die momentane Leistung zum Zeitpunkt t ist also die Ableitung der verrichteten Arbeit zu diesem Zeitpunkt.

Die ursprnglich im Magnetfeld gespeicherte Energie entspricht nun der ber den gesamten Zeitraum verrichteten Arbeit. Da P offenbar die Ableitung der Arbeit ist, erhalten wir die ber den gesamten Zeitraum verrichtete Arbeit, indem wir P(t) von t=0 bis t=∞ integrieren:

Setzt man fr I die fr den Ausschaltvorgang hergeleitete Formel ein, folgt:

R und I_0 sind konstant bleibende Zahlen und knnen daher vor das Integral geschrieben werden:

Multiplizieren wir die Klammern aus, erhalten wir die gesuchte Formel fr die Magnetfeldenergie:

Fliet also durch eine Spule mit der Induktivitt L der Strom I, so enthlt das Magnetfeld der Spule die Energie

Zusammengefasst:

  • hnlich wie bei den elektrischen Feldern, so speichern auch magnetische Felder Energie.
  • In dem Magnetfeld einer mit dem Strom I durchflossenen Spule, welche die Induktivitt L besitzt, ist folgende Energie gespeichert:

Die Energiedichte des magnetischen Feldes

Doch sitzt die Energie wirklich im magnetischen Feld? - Wenn ja, msste die Energie W_mag proportional zum vom Feld durchsetzen Volumen sein.
Betrachten wir das Feld

einer lang gestreckten Spule. Fr ihre Induktivitt haben wir bereits die Formel

hergeleitet und knnen Sie direkt in die Formel fr die Energie des Magnetfeldes einsetzen:

Wir formulieren die rechte Seite der Gleichung etwas um:

Durch Krzen kann man sehen, dass hier nichts anderes steht, als auf der rechten Seite der darber liegenden Gleichung. Nur wird in dieser Schreibweise einiges sichtbar: Die hinteren Faktoren entsprechen nmlich der magnetischen Flussdichte zum Quadrat:

Multipliziert man die Grundflche A der Spule mit dessen Lnge l, so erhlt man ihr Volumen. Der folgende, ebenfalls in obiger Gleichung steckende Faktor entspricht also dem Volumen des vom Magnetfeld durchdrngten Spuleninneren:

Mit diesen Kenntnissen erhalten wir die Formel

Tatsache: Wmag ist proportional zu V. Die Energie sitzt tatschlich in dem Feld, welches das Volumen V durchdringt.

Da die Energie im Feld gespeichert wird, macht es Sinn, eine Energiedichte zu definieren, welche angibt, wie viel Energie das Feld pro Volumeneinheit enthlt.

Zusammengefasst:

  • Die Energie, die in einem Magnetfelt pro Volumeneinheit gespeichert wird, ist