PhysikSkript
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{+Zusammengefasst:+}
* Ähnlich wie bei den elektrischen Feldern, so speichern auch magnetische Felder Energie.
* In dem Magnetfeld einer mit dem Strom I durchflossenen Spule, welche die Induktivität L besitzt, ist folgende Energie gespeichert: {$ W_text(mag) = 1/2 * L * I^2 $}
>><<
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{+Zusammengefasst:+}
* Ändert sich der Strom durch eine Spule, so wird in diese Spule eine Spannung induziert, welche durch die folgende Gleichung berechnet werden kann: {$ U_text(ind) = - L * dot I $}
* Der Faktor L ist eine Spuleneigenschaft, die mit Induktivität bezeichnet wird. Von ihr hängt ab, wie groß die Induktionsspannung bei Änderung des Spulenstroms ist.
* Die Induktivität einer lang gestreckten Spule kann man berechnen durch {$ L = mu_0 * mu_r * (N^2)/l * A $}
>><<
Die Funktion gibt die Stromstärke zum Zeitpunkt t nach dem Einschalten wieder.
(:title Selbstinduktion :)
Selbstinduktion
PhysikSkript.Kapitel17 History
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!![[#Selbstinduktion]]{+89. Die Selbstinduktion+}
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!![[#Selbstinduktion]]{+Die Selbstinduktion+}
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!![[#Induktivitaet]]{+90. Die Induktivität (oder auch Eigeninduktivität)+}
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!![[#Induktivitaet]]{+Die Induktivität (oder auch Eigeninduktivität)+}
Changed lines 70-71 from:
!![[#EinschaltvorgangSelbstinduktion]]{+91. Selbstinduktion - Der Einschaltvorgang+}
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!![[#EinschaltvorgangSelbstinduktion]]{+Selbstinduktion - Der Einschaltvorgang+}
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!![[#SelbstindunktAusschaltv]] {+92. Selbstinduktion - Der Ausschaltvorgang+}
to:
!![[#SelbstindunktAusschaltv]] {+Selbstinduktion - Der Ausschaltvorgang+}
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!![[#HWZSelbstindukt]]{+93. Die Halbwertszeit des Stromes beim Ausschaltvorgang +}
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!![[#HWZSelbstindukt]]{+Die Halbwertszeit des Stromes beim Ausschaltvorgang +}
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!![[#MagFeldenergie]]{+95. Energie des magnetischen Feldes+}
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!![[#MagFeldenergie]]{+Energie des magnetischen Feldes+}
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!![[#EnergiedichteMagFeld]]{+96. Die Energiedichte des magnetischen Feldes+}
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!![[#EnergiedichteMagFeld]]{+Die Energiedichte des magnetischen Feldes+}
Changed lines 268-273 from:
{$ rho_text(mag) = (W_text(mag))/(V) = 1/(2 * mu_0 * mu_r) * B^2 $}
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{$ rho_text(mag) = (W_text(mag))/(V) = 1/(2 * mu_0 * mu_r) * B^2 $}
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{+Zusammengefasst:+}
* Die Energie, die in einem Magnetfelt pro Volumeneinheit gespeichert wird, ist {$ rho_text(mag) = 1/(2 * mu_0 * mu_r) * B^2 $}
>><<
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{+Zusammengefasst:+}
* Die Energie, die in einem Magnetfelt pro Volumeneinheit gespeichert wird, ist {$ rho_text(mag) = 1/(2 * mu_0 * mu_r) * B^2 $}
>><<
Changed lines 128-135 from:
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{+Zusammengefasst:+}
* Der Verlauf des Spulenstroms beim Einschaltvorgang einer Spule wird durch folgende Differentialgleichung beschrieben: {$ I(t) + L/R * I'(t) = (U_0)/R $}
* Die DGL wird durch diese Funktion gelöst:
{$ I(t) = I_max - I_max * e^(-R/L * t) $}
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{+Zusammengefasst:+}
* Der Verlauf des Spulenstroms beim Einschaltvorgang einer Spule wird durch folgende Differentialgleichung beschrieben: {$ I(t) + L/R * I'(t) = (U_0)/R $}
* Die DGL wird durch diese Funktion gelöst:
{$ I(t) = I_max - I_max * e^(-R/L * t) $}
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Changed lines 168-175 from:
to:
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{+Zusammengefasst:+}
* Der Verlauf des Spulenstroms beim Ausschaltvorgang einer Spule wird durch folgende Differentialgleichung beschrieben: {$ I(t) + L/R * I'(t) = 0 $}
* Die DGL wird durch diese Funktion gelöst:
{$ I(t) = I_0 * e^(-R/L * t) $}
>><<
{+Zusammengefasst:+}
* Der Verlauf des Spulenstroms beim Ausschaltvorgang einer Spule wird durch folgende Differentialgleichung beschrieben: {$ I(t) + L/R * I'(t) = 0 $}
* Die DGL wird durch diese Funktion gelöst:
{$ I(t) = I_0 * e^(-R/L * t) $}
>><<
Changed lines 185-189 from:
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{+Zusammengefasst:+}
* Die Zeit, innerhalb der sich der Strom beim Ausschaltvorgang einer Spule halbiert, beträgt {$ t_H = L/R * ln(2) $}
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{+Zusammengefasst:+}
* Die Zeit, innerhalb der sich der Strom beim Ausschaltvorgang einer Spule halbiert, beträgt {$ t_H = L/R * ln(2) $}
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Added lines 240-245:
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{+Zusammengefasst:+}
* Ähnlich wie bei den elektrischen Feldern, so speichern auch magnetische Felder Energie.
* In dem Magnetfeld einer mit dem Strom I durchflossenen Spule, welche die Induktivität L besitzt, ist folgende Energie gespeichert: {$ W_text(mag) = 1/2 * L * I^2 $}
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Changed lines 29-30 from:
to:
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{+Zusammengefasst:+}
* Wir der Strom durch eine Spule eingeschalten, so baut sich das Spulenfeld auf und der magnetische Fluss durch die Spule erhöht sich. Dadurch wird in die Spule selbst eine Spannung induziert. Diesen Vorgang nennt man Selbstinduktion.
* Die Induktionsspannung ist gemäß der Lenz'schen Regel so gerichtet, dass er das Ansteigen des Spulenstroms (und damit seiner Ursache) entgegen wirkt.
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{+Zusammengefasst:+}
* Wir der Strom durch eine Spule eingeschalten, so baut sich das Spulenfeld auf und der magnetische Fluss durch die Spule erhöht sich. Dadurch wird in die Spule selbst eine Spannung induziert. Diesen Vorgang nennt man Selbstinduktion.
* Die Induktionsspannung ist gemäß der Lenz'schen Regel so gerichtet, dass er das Ansteigen des Spulenstroms (und damit seiner Ursache) entgegen wirkt.
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Added lines 61-67:
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{+Zusammengefasst:+}
* Ändert sich der Strom durch eine Spule, so wird in diese Spule eine Spannung induziert, welche durch die folgende Gleichung berechnet werden kann: {$ U_text(ind) = - L * dot I $}
* Der Faktor L ist eine Spuleneigenschaft, die mit Induktivität bezeichnet wird. Von ihr hängt ab, wie groß die Induktionsspannung bei Änderung des Spulenstroms ist.
* Die Induktivität einer lang gestreckten Spule kann man berechnen durch {$ L = mu_0 * mu_r * (N^2)/l * A $}
>><<
Changed line 169 from:
{$ R = R_S + R_A $}.
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{$ R = R_S + R_A $}
Changed line 182 from:
... doch: Warum dreht sich der Propeller? Schließlich fließt keine Energie von der Stromquelle nach, da der Schalter offen ist.
to:
... doch: Warum dreht sich der Propeller? Schließlich kann wegen des offenen Schalters keine Energie mehr von der Stromquelle nachfließen.
Changed line 185 from:
Offenbar ist im magnetischen Feld Energie gespeichert. Bei Verringerung des magnetischen Flusses wandelt sich diese Energie dies Feldes dann über den Induktionsstrom in elektrische Energie um. \\
to:
Offenbar ist im magnetischen Feld Energie gespeichert. Bei Verringerung des magnetischen Flusses wandelt sich die Energie dieses Feldes dann über den Induktionsstrom in elektrische Energie um. \\
Changed line 228 from:
{+Tatsache:+} W_mag ist proportional zu V. Die Energie sitzt tatsächlich in dem Feld, welches das Volumen V durchdringt.
to:
{+Tatsache:+} W'_mag_' ist proportional zu V. Die Energie sitzt tatsächlich in dem Feld, welches das Volumen V durchdringt.
Changed line 180 from:
Ist in der seitlich dargestellten Schaltung der Schalter geschlossen, so fließt nur über die Spule ein Strom, da die Diode den Stromfluss in gleicher Richtung über den Propeller verhindert. \\
to:
Ist in der oben dargestellten Schaltung der Schalter geschlossen, so fließt nur über die Spule ein Strom, da die Diode den Stromfluss in gleicher Richtung über den Propeller verhindert. \\
Changed lines 112-113 from:
{$ I(t) = I_max - I_max * e^(R/L * t) $}
to:
{$ I(t) = I_max - I_max * e^(-R/L * t) $}
Changed line 127 from:
Die Spannung U_R am Spulenwiderstand ist gleich der Induktionsspannung. Wegen U=I*R folgt:
to:
Die Spannung U'_R_' am Spulenwiderstand ist gleich der Induktionsspannung. Wegen U=I*R folgt:
Changed lines 133-134 from:
{+Experiment:+} Um einen Ansatz zu finden, zeichnen wir experimentell die Messwertkurve für I(t) mit dem CASSY auf. Dabei stellen wir einen exponentiellen Abfall fest. Die Vermutung liegt also nahe, dass folgender Ansatz den Verlauf des Stroms richtig beschreibt:
to:
{+Experiment:+} \\
Um einen Ansatz zu finden, zeichnen wir experimentell die Messwertkurve für I(t) mit dem CASSY auf. Dabei stellen wir einen exponentiellen Abfall fest. Die Vermutung liegt also nahe, dass folgender Ansatz den Verlauf des Stroms richtig beschreibt:
Um einen Ansatz zu finden, zeichnen wir experimentell die Messwertkurve für I(t) mit dem CASSY auf. Dabei stellen wir einen exponentiellen Abfall fest. Die Vermutung liegt also nahe, dass folgender Ansatz den Verlauf des Stroms richtig beschreibt:
Changed lines 136-137 from:
{+Prüfung des Ansatzes:+} Wir können den Ansatz prüfen, indem wir ihn in die DGL einsetzen und prüfen, ob er die Gleichung erfüllt. \\
Für die Ableitung von I(t) folgt aus dem obigen Ansatz:
Für die Ableitung von I(t) folgt aus dem obigen Ansatz:
to:
{+Prüfung des Ansatzes:+} \\
Wir können den Ansatz prüfen, indem wir ihn in die DGL einsetzen und prüfen, ob er die Gleichung erfüllt. \\
Für die Ableitung von des Stromes I'(t) folgt aus dem obigen Ansatz:
Wir können den Ansatz prüfen, indem wir ihn in die DGL einsetzen und prüfen, ob er die Gleichung erfüllt. \\
Für die Ableitung von des Stromes I'(t) folgt aus dem obigen Ansatz:
Changed line 151 from:
Über die Stromfunktion I(t) können wir jetzt leicht herausfinden, wie lange es dauert, bis der induzierte Strom auf die Hälfte abgesunken ist:
to:
Über die Stromfunktion I(t) können wir jetzt leicht herausfinden, wie lange es dauert, bis der induzierte Strom auf die Hälfte seiner ursprünglichen Größe abgesunken ist:
Changed lines 55-57 from:
Die Einheit von L wird Henry genannt: {$ H = (V cdot s)/A $}
to:
Die Einheit von L wird Henry genannt: {$ H = (V * s)/A $}
Added lines 60-61:
In diesem Abschnitt werden wir eine Funktion finden, die den Anstieg des Spulenstroms beim Einschaltvorgang richtig beschreibt. Ähnlich wie beim Lade/Entladevorgang von Kondensatoren, führt auch hier der Weg über eine Differentialgleichung, die wir jetzt herleiten.
Changed lines 72-73 from:
Hieraus erhalten wir die Differentialgleichung für den Einschaltvorgang.
to:
Hieraus erhalten wir schließlich die Differentialgleichung für den Einschaltvorgang.
Changed lines 76-77 from:
Hat sich das Mu-Feld fertig aufgebaut und ist daher U'_text(ind)_' = 0, so fließt der maximale Strom {$ I_max = (U_0)/R $}. Mit dieser Bezeichnung erhalten wir für unsere DGL die entgültige Form:
to:
Hat sich das B-Feld fertig aufgebaut und ist daher U'_ind_' = 0, so fließt der maximale Strom {$ I_max = (U_0)/R $}. Mit dieser Bezeichnung erhalten wir für unsere DGL die entgültige Form:
Changed lines 82-84 from:
{+Experiment:+}
Um einen Ansatz für die Stromfunktion I(t) zu erhalten, zeichnen wir mit CASSY den Messwertgraphen aus obiger Schaltung:
to:
{+Experiment:+} \\
Um einen Ansatz für die Stromfunktion I(t) zu erhalten, zeichnen wir mit CASSY den Messwertgraphen aus obiger Schaltung. Der Graph (nicht im Skript enthalten) legt folgenden Ansatz für die Funktion nahe:
Um einen Ansatz für die Stromfunktion I(t) zu erhalten, zeichnen wir mit CASSY den Messwertgraphen aus obiger Schaltung. Der Graph (nicht im Skript enthalten) legt folgenden Ansatz für die Funktion nahe:
Changed lines 86-104 from:
{$ I(t) = I_max - I_max * e^(-R/L *t) $}
-->
{$ I_max - I_max * e^(-R/L * t) + L/R * ? *I-max * e^(-R/L * t) = I-max $}
/-I_max und vorklammern
{$ -I_max * e^(-R/L * t) + L/R * R/L * I_max * e^(-R/L * t) = 0 $}
/ :(I'_max_' * e^(-R/L *)
{$-1 + L/R * R/L = 0 $}
/+1 / * R/L
1 = 1
--> Die DGL wird durch folgende Funktion gelöst:
{$ I_max - I_max * e^(-R/L * t) + L/R * ? *
/-I_max und vorklammern
{
/ :(
{$
/+1 /
1 = 1
--> Die DGL wird
to:
{$ I(t) = I_max - I_max * e^(-lambda *t) $}
wobei lambda eine noch zu bestimmende Konstante ist. \\
Für die Ableitung folgt
{$ I'(t) = lambda * I_max * e^{-lambda * t) $}
Wir prüfen den Ansatz durch Einsetzen in die DGL und prüfen, unter welcher Bedingung er sie erfüllt:
{$ I(t) + L/R * I'(t) = I_max $}
{$ -> I_max - I_max * e^(-lambda * t) + L/R * lambda * I_max * e^(-lambda * t) = I_max $}
... wir ziehen beidseitig I_max ab ...
{$ -I_max * e^(-lambda * t) + L/R * lambda * I_max * e^(-lambda * t) = 0 $}
... und teilen durch die gemeinsamen Faktoren...
{$ -1 + L/R * lambda = 0 $}
... woraus für lambda folgt:
{$ lambda = R/L $}
Die DGL wird also durch folgende Funktion gelöst:
wobei lambda eine noch zu bestimmende Konstante ist. \\
Für die Ableitung folgt
{$ I'(t) = lambda * I_max * e^{-lambda * t) $}
Wir prüfen den Ansatz durch Einsetzen in die DGL und prüfen, unter welcher Bedingung er sie erfüllt:
{$ I(t) + L/R * I'(t) = I_max $}
{$ -> I_max - I_max * e^(-lambda * t) + L/R * lambda * I_max * e^(-lambda * t) = I_max $}
... wir ziehen beidseitig I_max ab ...
{$ -I_max * e^(-lambda * t) + L/R * lambda * I_max * e^(-lambda * t) = 0 $}
... und teilen durch die gemeinsamen Faktoren...
{$ -1 + L/R * lambda = 0 $}
... woraus für lambda folgt:
{$ lambda = R/L $}
Die DGL wird also durch folgende Funktion gelöst:
Changed line 114 from:
Die Funktion gibt die Stromstärke zum Zeitpunkt t nach dem Einschalten wieder.
to:
Die Funktion gibt die Stromstärke durch die Spule zum Zeitpunkt t nach dem Einschalten wieder.
Changed lines 34-41 from:
Nun: I' gibt an, um wie viel Ampere der Strom pro Sekunde ansteigt. Weil Mu'_0_', Mu'_r_', N und l konstant sind, steigt B mit der Rate
{$ B' = Mu_0 * Mu_r * N/l *I' $}
an, woraus folgt (Wenn die Spulenfläche A konstant bleibt):
{$ dot Phi = A * B' = A * Mu_0 * Mu_r * I' * N/l $}
{$ B
an
{$ dot
to:
Nun: Die Ableitung des Stroms I' gibt an, um wie viel Ampere der Strom pro Sekunde ansteigt. Weil my'_0_', my'_r_', N und l konstant sind, steigt B mit der Rate
{$ dot B = mu_0 * mu_r * N/l * dot I $}
an. Bei konstant bleibender Spulenfläche wächst der magnetische Fluss Phi durch die Spule proportional zur magnetischen Flussdichte B an:
{$ dot Phi = A * dot B = A * mu_0 * mu_r * N/l * dot I$}
{$ dot B = mu_0 * mu_r * N/l * dot I $}
an. Bei konstant bleibender Spulenfläche wächst der magnetische Fluss Phi durch die Spule proportional zur magnetischen Flussdichte B an:
{$ dot Phi = A * dot B = A * mu_0 * mu_r * N/l * dot I$}
Changed lines 44-56 from:
{$ U_text(ind) = -N * dot Phi = -Mu_0 * Mu_r * (N^2)/l * A * I' $}
Der Vorfaktor von I' besteht also nur aus konstanten Spuleneigenschaften. In der Physik nennt man den, von den Spuleneigenschaften abhängigen Faktor
{$ L = Mu_0 * Mu_r * (N^2)/l * A $}
auch die Induktivität (auch: Eigeninduktivität) der Spule. Je größer die Induktivität einer Spule ist, desto größer ist die in ihr induzierte Spannung bei gleichbleibender Änderungsrate des durch ihr fließenden Stromes:
{$ U_text(ind) = -L * I' $}
Einheit von L: {$ 1Henry = 1 (v_text(S'))/A $}
{$ L = Mu_0 * Mu_r * (N^2)/l * A $}
auch die Induktivität (auch: Eigeninduktivität)
{$ U_text(ind) = -L * I' $}
Einheit von L: {$ 1Henry = 1 (v_text(S'))/A
to:
{$ U_text(ind) = -N * dot Phi = -mu_0 * mu_r * (N^2)/l * A * dot I $}
Im Prinzip haben wir unser Ziel, die Eigeninduktionsspannung zu berechnen, erreicht. Allerdings ist der Formelausdruck recht kompliziert. Mit einer hilfreichen neuen physikalischen Größe, können wir ihn stark vereinfachen: \\
Der Vorfaktor von I' besteht nur aus konstanten Spuleneigenschaften. In der Physik nennt man den von den Spuleneigenschaften abhängigen Faktor
{$ L = mu_0 * mu_r * (N^2)/l * A $}
auch die Induktivität (auch: Eigeninduktivität) der Spule. Die Induktivität ist eine Spuleneigenschaft. Je größer die Induktivität einer Spule ist, desto größer ist die in ihr induzierte Spannung bei gleichbleibender Änderungsrate des durch ihr fließenden Stromes:
{$ U_text(ind) = -L * dot I $}
Die Einheit von L wird Henry genannt: {$ H = (V cdot s)/A $}
Im Prinzip haben wir unser Ziel, die Eigeninduktionsspannung zu berechnen, erreicht. Allerdings ist der Formelausdruck recht kompliziert. Mit einer hilfreichen neuen physikalischen Größe, können wir ihn stark vereinfachen: \\
Der Vorfaktor von I' besteht nur aus konstanten Spuleneigenschaften. In der Physik nennt man den von den Spuleneigenschaften abhängigen Faktor
{$ L = mu_0 * mu_r * (N^2)/l * A $}
auch die Induktivität (auch: Eigeninduktivität) der Spule. Die Induktivität ist eine Spuleneigenschaft. Je größer die Induktivität einer Spule ist, desto größer ist die in ihr induzierte Spannung bei gleichbleibender Änderungsrate des durch ihr fließenden Stromes:
{$ U_text(ind) = -L * dot I $}
Die Einheit von L wird Henry genannt: {$ H = (V cdot s)/A $}
Changed line 60 from:
%width=300px% %height=300px% Attach:Selbstinduktion.jpg
to:
%width=300px% Attach:Selbstinduktion.jpg
Changed line 4 from:
# %blue% Die Selbstinduktion
to:
# %green% [[#Selbstinduktion | Die Selbstinduktion]]
Changed lines 7-12 from:
# %blue% Selbstinduktion - Der Ausschaltvorgang
blue% Die Halbwertszeit des Stroms beim Ausschaltvorgang
blue% Das RL-Glied
blue% Energie des magnetischen Feldes
blue% Energiedichte des magnetischen Feldes
to:
# %green% [[#SelbstindunktAusschaltv | Selbstinduktion - Der Ausschaltvorgang]]
# %green% [[#HWZSelbstindukt | Die Halbwertszeit des Stroms beim Ausschaltvorgang]]
# %green% [[#RLGlied | Das RL-Glied]]
# %green% [[#MagFeldenergie | Energie des magnetischen Feldes]]
# %green% [[#EnergiedichteMagFeld | Energiedichte des magnetischen Feldes]]
# %green% [[#HWZSelbstindukt | Die Halbwertszeit des Stroms beim Ausschaltvorgang]]
# %green% [[#RLGlied | Das RL-Glied]]
# %green% [[#MagFeldenergie | Energie des magnetischen Feldes]]
# %green% [[#EnergiedichteMagFeld | Energiedichte des magnetischen Feldes]]
Added lines 16-31:
!![[#Selbstinduktion]]{+89. Die Selbstinduktion+}
In der unten abgebildeten Schaltung ist die Lampe L1 und eine Spule mit Eisenkern zu einer baugleichen Lampe L2 und einem Widerstand R parallel geschaltet. Der Widerstand R ist genau so groß gewählt, wie der Widerstand der Spule. \\
%width=350px% Attach:89_Schaltung_Selbstinduktion.jpg
{+Experiment:+} Über den Schalter wird der Stromkreis geschlossen. Wir beobachten, dass L2 sofort mit dem Umlegen des Schalters leuchtet. L1 leuchtet jedoch erst mit Verzögerung: Innerhalb einer Sekunde steigt ihre Helligkeit auf das Niveau von L1. \\
Doch wie kommt diese zeitliche Verzögerung zustande?
[[<<]]
{+Erklärung:+} Kurz nach dem Umlegen des Schalters fließt durch die Spule jetzt mehr und mehr Strom. Mit dem Strom baut sich auch das Magnetfeld der Spule
{$ B= mu_0 * mu_r * N/l * dot I $}
immer mehr auf, wodurch auch der magnetische Fluss Φ = AB durch die Spule ansteigt: {$ dot Phi > 0 $}
Offenbar wird nun, durch den steigenden Fluss, in der Spule selbst eine Spannung {$ U_text(ind) = -n * dot Phi $} induziert, welche der Spannung des Netzgerätes entgegen gerichtet ist. Das verzögert das Ansteigen des Stromes durch die Spule und durch die Lampe L1. Erst, wenn der maximale Strom durch die Spule I_Max erreicht ist, ändert sich der magnetische Fluss durch die Spule nicht mehr, und der Strom kann ungehindert durch sie hindurch fließen. Erst jetzt leuchtet sie also gleich hell wie die Lampe L2.
In der unten abgebildeten Schaltung ist die Lampe L1 und eine Spule mit Eisenkern zu einer baugleichen Lampe L2 und einem Widerstand R parallel geschaltet. Der Widerstand R ist genau so groß gewählt, wie der Widerstand der Spule. \\
%width=350px% Attach:89_Schaltung_Selbstinduktion.jpg
{+Experiment:+} Über den Schalter wird der Stromkreis geschlossen. Wir beobachten, dass L2 sofort mit dem Umlegen des Schalters leuchtet. L1 leuchtet jedoch erst mit Verzögerung: Innerhalb einer Sekunde steigt ihre Helligkeit auf das Niveau von L1. \\
Doch wie kommt diese zeitliche Verzögerung zustande?
[[<<]]
{+Erklärung:+} Kurz nach dem Umlegen des Schalters fließt durch die Spule jetzt mehr und mehr Strom. Mit dem Strom baut sich auch das Magnetfeld der Spule
{$ B= mu_0 * mu_r * N/l * dot I $}
immer mehr auf, wodurch auch der magnetische Fluss Φ = AB durch die Spule ansteigt: {$ dot Phi > 0 $}
Offenbar wird nun, durch den steigenden Fluss, in der Spule selbst eine Spannung {$ U_text(ind) = -n * dot Phi $} induziert, welche der Spannung des Netzgerätes entgegen gerichtet ist. Das verzögert das Ansteigen des Stromes durch die Spule und durch die Lampe L1. Erst, wenn der maximale Strom durch die Spule I_Max erreicht ist, ändert sich der magnetische Fluss durch die Spule nicht mehr, und der Strom kann ungehindert durch sie hindurch fließen. Erst jetzt leuchtet sie also gleich hell wie die Lampe L2.
Changed lines 105-221 from:
to:
Die Funktion gibt die Stromstärke zum Zeitpunkt t nach dem Einschalten wieder.
!![[#SelbstindunktAusschaltv]] {+92. Selbstinduktion - Der Ausschaltvorgang+}
%width=400px% Attach:92_Schaltung_Ausschaltvorgang.jpg
Ist der Schalter S geschlossen, so besteht in der Spule ein Magnetfeld, welches durch den Strom verursacht wird. \\
Wird der Schalter dann geöffnet, verursacht das Abfallen des magnetischen Flusses eine Induktionsspannung, welche ihrer Ursache (d.h. dem abfallenden Strom) entgegen wirkt. Damit wird der Stromfluss über den inneren Stromkreis aufrecht erhalten. \\
Der Strom zirkuliert somit im inneren Stromkreis. Aufgrund des Widerstands R der Spule, wandelt sich die elektrische Energie nach und nach in Wärme um, wodurch der von der Induktionsspannung verursachte Strom langsam abebbt.
[[<<]]
Wir wollen nun versuchen, eine Funktion I(t) zu finden, welche den zeitlichen Verlauf des abebbenden Stroms nach Schalteröffnung richtig beschreibt. Dazu stellen wir zunächst eine DGL auf: \\
Die Spannung U_R am Spulenwiderstand ist gleich der Induktionsspannung. Wegen U=I*R folgt:
{$ U_R = U_text(ind) => I(t) * R = -L * dot I(t) $}
Durch Umformungen folgt die gesuchte Differentialgleichung für den Ausschaltvorgang:
{$ I(t) + L/R * dot I(t) = 0$}
Doch welche Funktion für I(t) löst diese Differentialgleichung?
{+Experiment:+} Um einen Ansatz zu finden, zeichnen wir experimentell die Messwertkurve für I(t) mit dem CASSY auf. Dabei stellen wir einen exponentiellen Abfall fest. Die Vermutung liegt also nahe, dass folgender Ansatz den Verlauf des Stroms richtig beschreibt:
{$ I(t) = I_0 * e^(-lambda * t) $}
{+Prüfung des Ansatzes:+} Wir können den Ansatz prüfen, indem wir ihn in die DGL einsetzen und prüfen, ob er die Gleichung erfüllt. \\
Für die Ableitung von I(t) folgt aus dem obigen Ansatz:
{$ dot I(t) = I'(t) = -lambda * I_0 * e^(-lambda t) $}
Setzen wir die Funktion und ihre Ableitung in die DGL ein, erhalten wir
{$ I_0 * e^(-lambda t) - L/R * lambda * I_0 * e^(-lambda t) = 0 $}
Teilt man die Gleichung durch den Faktor {$ I_0 * e^(-lambda t) $}, so bekommen wir
{$ 1-L/R * lambda = 0 $}
Hieraus folgt direkt
{$ lambda = R/L $}
wodurch wir die folgende Funktion gefunden haben, die den zeitlichen Verlauf des Stroms richtig beschreibt:
{$ I(t) = I_0 * e^(-R/L * t) $}
!![[#HWZSelbstindukt]]{+93. Die Halbwertszeit des Stromes beim Ausschaltvorgang +}
Über die Stromfunktion I(t) können wir jetzt leicht herausfinden, wie lange es dauert, bis der induzierte Strom auf die Hälfte abgesunken ist:
{$ I(t) = 1/2 * I_0 $}
{$ I_0 * e^(-R/L * t) = 1/2 * I_0 $}
{$ e^(-R/L * t) = 1/2 $}
Beidseitiges Logarithmieren ergibt schließlich
{$ -R/L * t = ln(1/2) = ln(1) - ln(2) = ln(2) $}
{$ => t_H = L/R * ln(2) $}
!![[#RLGlied]] {+94.Das RL-Glied+}
Sind Induktivität und Widerstand, wie unten dargestellt, in Reihe geschaltet, so spricht man vom RL-Glied.
%width=300px% Attach:94_RLGlied.jpg
Wir können den Strom I(t) zum Zeitpunkt t mit den in den obigen Abschnitten hergeleiteten Formeln berechnen. Der Widerstand R entspricht der Summe der mit der Spule in Reihe liegenden Widerständen. \\
Für den Einschaltvorgang verwendet man
{$ I(t) = I_text(Max) - I_text(Max) * e^(-R/L * t) $}
mit
{$ R = R_S + R_A $}.
Für den Ausschaltvorgang entsprechend
{$ I(t) = I_0 * e^(-R/L * t) $}
mit
{$ R = R_S + R_A + R_B $}
!![[#MagFeldenergie]]{+95. Energie des magnetischen Feldes+}
%width=400px% Attach:95_Schaltung_mit_Propeller.jpg
Ist in der seitlich dargestellten Schaltung der Schalter geschlossen, so fließt nur über die Spule ein Strom, da die Diode den Stromfluss in gleicher Richtung über den Propeller verhindert. \\
Öffnet man den Schalter, so baut sich das Magnetfeld in der Spule ab und verursacht einen Induktionsstrom. Die Elektronen fließen im Uhrzeigersinn durch den inneren Stromkreis - und damit in Durchlassrichtung der Diode. Wir beobachten, dass sich der Propeller dreht. \\
... doch: Warum dreht sich der Propeller? Schließlich fließt keine Energie von der Stromquelle nach, da der Schalter offen ist.
[[<<]]
Offenbar ist im magnetischen Feld Energie gespeichert. Bei Verringerung des magnetischen Flusses wandelt sich diese Energie dies Feldes dann über den Induktionsstrom in elektrische Energie um. \\
Wir werden jetzt versuchen, eine Formel zu finden, mit der wir ausrechnen können, wie viel Energie in dem Feld einer Spule mit Induktivität L steckt, wenn wir den Strom I durch sie hindurch fließen lassen. Dazu betrachten wir diesen Ausschaltvorgang genauer:
[[<<]]
Die Leistung, die im ganzen inneren Stromkreis geleistet wird, lässt sich einfach berechnen:
{$ P = U * I $}
Bezeichner R den elektrischen Widerstand des Kreises, so kann man U durch U = I * R ausdrücken.
{$ => P = U I = I * R * I = R * I^2 $}
Leistung ist definiert als Arbeit pro Zeit. Das bedeutet: Im Zeitraum Δt gilt für die über diesen Zeitraum durchschnittliche Leistung
{$ P = (Delta W)/(Delta t) $}
Die {+momentane+} Leistung zu einem Zeit{+punkt+} t ist dann
{$ P(t) = (dW)/(dt) = W'(t) $}
Die momentane Leistung zum Zeitpunkt t ist also die Ableitung der verrichteten Arbeit zu diesem Zeitpunkt.
[[<<]]
Die ursprünglich im Magnetfeld gespeicherte Energie entspricht nun der über den gesamten Zeitraum verrichteten Arbeit. Da P offenbar die Ableitung der Arbeit ist, erhalten wir die über den gesamten Zeitraum verrichtete Arbeit, indem wir P(t) von t=0 bis t=∞ integrieren:
{$ W_text(mag) = int_0^oo P(t) dt = int_0^oo R*I^2 dt $}
Setzt man für I die für den Ausschaltvorgang hergeleitete Formel ein, folgt:
{$ W_text(mag) = int_0^oo R * (I_0 * e^(-R/L t))^2 dt = int_0^oo R * I_0^2 * e^(-2 * R/L * t) dt $}
R und I_0 sind konstant bleibende Zahlen und können daher vor das Integral geschrieben werden:
{$ W_text(mag) = R * I_0^2 * int_0^oo e^(-2 * R/L *t) dt = R*I_0^2*[-1/2 * L/R * e^(-2 R/L t)]_0^oo = R * I_0^2 * [0-(-1/2 * L/R * 1)] $}
Multiplizieren wir die Klammern aus, erhalten wir die gesuchte Formel für die Magnetfeldenergie:
{$ W_text(mag) = 1/2 * L * I_0^2 $}
Fließt also durch eine Spule mit der Induktivität L der Strom I, so enthält das Magnetfeld der Spule die Energie
{$W_text(mag) = 1/2 * L * I^2 $}
!![[#EnergiedichteMagFeld]]{+96. Die Energiedichte des magnetischen Feldes+}
Doch sitzt die Energie wirklich im magnetischen Feld? - Wenn ja, müsste die Energie W_mag proportional zum vom Feld durchsetzen Volumen sein. \\
Betrachten wir das Feld
{$ B= mu_0 * mu_r * N/l * I $}
einer lang gestreckten Spule. Für ihre Induktivität haben wir bereits die Formel
{$ L = mu_0 * mu_r * (N^2)/(l) * A $}
hergeleitet und können Sie direkt in die Formel für die Energie des Magnetfeldes einsetzen:
{$ W_text(mag) = 1/2 * L * I^2 = 1/2 * mu_0 * mu_r * (N^2)/(l) * A * I^2 $}
Wir formulieren die rechte Seite der Gleichung etwas um:
{$ W_text(mag) = 1/2 * 1/(mu_0 * mu_r) * l * A * mu_0^2 * mu_r^2 * (N^2)/(l^2) * I^2 $}
Durch Kürzen kann man sehen, dass hier nichts anderes steht, als auf der rechten Seite der darüber liegenden Gleichung. Nur wird in dieser Schreibweise einiges sichtbar: Die hinteren Faktoren entsprechen nämlich der magnetischen Flussdichte zum Quadrat:
{$ B^2 = mu_0^2 * mu_r^2 * (N^2)/(l^2) * I^2 $}
Multipliziert man die Grundfläche A der Spule mit dessen Länge l, so erhält man ihr Volumen. Der folgende, ebenfalls in obiger Gleichung steckende Faktor entspricht also dem Volumen des vom Magnetfeld durchdrängten Spuleninneren:
{$ l * A = V $}
Mit diesen Kenntnissen erhalten wir die Formel
{$ W_text(mag) = 1/(2*mu_0*mu_r)*B^2*V $}
{+Tatsache:+} W_mag ist proportional zu V. Die Energie sitzt tatsächlich in dem Feld, welches das Volumen V durchdringt.
[[<<]]
Da die Energie im Feld gespeichert wird, macht es Sinn, eine Energiedichte zu definieren, welche angibt, wie viel Energie das Feld pro Volumeneinheit enthält.
{$ rho_text(mag) = (W_text(mag))/(V) = 1/(2 * mu_0 * mu_r) * B^2 $}
!![[#SelbstindunktAusschaltv]] {+92. Selbstinduktion - Der Ausschaltvorgang+}
%width=400px% Attach:92_Schaltung_Ausschaltvorgang.jpg
Ist der Schalter S geschlossen, so besteht in der Spule ein Magnetfeld, welches durch den Strom verursacht wird. \\
Wird der Schalter dann geöffnet, verursacht das Abfallen des magnetischen Flusses eine Induktionsspannung, welche ihrer Ursache (d.h. dem abfallenden Strom) entgegen wirkt. Damit wird der Stromfluss über den inneren Stromkreis aufrecht erhalten. \\
Der Strom zirkuliert somit im inneren Stromkreis. Aufgrund des Widerstands R der Spule, wandelt sich die elektrische Energie nach und nach in Wärme um, wodurch der von der Induktionsspannung verursachte Strom langsam abebbt.
[[<<]]
Wir wollen nun versuchen, eine Funktion I(t) zu finden, welche den zeitlichen Verlauf des abebbenden Stroms nach Schalteröffnung richtig beschreibt. Dazu stellen wir zunächst eine DGL auf: \\
Die Spannung U_R am Spulenwiderstand ist gleich der Induktionsspannung. Wegen U=I*R folgt:
{$ U_R = U_text(ind) => I(t) * R = -L * dot I(t) $}
Durch Umformungen folgt die gesuchte Differentialgleichung für den Ausschaltvorgang:
{$ I(t) + L/R * dot I(t) = 0$}
Doch welche Funktion für I(t) löst diese Differentialgleichung?
{+Experiment:+} Um einen Ansatz zu finden, zeichnen wir experimentell die Messwertkurve für I(t) mit dem CASSY auf. Dabei stellen wir einen exponentiellen Abfall fest. Die Vermutung liegt also nahe, dass folgender Ansatz den Verlauf des Stroms richtig beschreibt:
{$ I(t) = I_0 * e^(-lambda * t) $}
{+Prüfung des Ansatzes:+} Wir können den Ansatz prüfen, indem wir ihn in die DGL einsetzen und prüfen, ob er die Gleichung erfüllt. \\
Für die Ableitung von I(t) folgt aus dem obigen Ansatz:
{$ dot I(t) = I'(t) = -lambda * I_0 * e^(-lambda t) $}
Setzen wir die Funktion und ihre Ableitung in die DGL ein, erhalten wir
{$ I_0 * e^(-lambda t) - L/R * lambda * I_0 * e^(-lambda t) = 0 $}
Teilt man die Gleichung durch den Faktor {$ I_0 * e^(-lambda t) $}, so bekommen wir
{$ 1-L/R * lambda = 0 $}
Hieraus folgt direkt
{$ lambda = R/L $}
wodurch wir die folgende Funktion gefunden haben, die den zeitlichen Verlauf des Stroms richtig beschreibt:
{$ I(t) = I_0 * e^(-R/L * t) $}
!![[#HWZSelbstindukt]]{+93. Die Halbwertszeit des Stromes beim Ausschaltvorgang +}
Über die Stromfunktion I(t) können wir jetzt leicht herausfinden, wie lange es dauert, bis der induzierte Strom auf die Hälfte abgesunken ist:
{$ I(t) = 1/2 * I_0 $}
{$ I_0 * e^(-R/L * t) = 1/2 * I_0 $}
{$ e^(-R/L * t) = 1/2 $}
Beidseitiges Logarithmieren ergibt schließlich
{$ -R/L * t = ln(1/2) = ln(1) - ln(2) = ln(2) $}
{$ => t_H = L/R * ln(2) $}
!![[#RLGlied]] {+94.Das RL-Glied+}
Sind Induktivität und Widerstand, wie unten dargestellt, in Reihe geschaltet, so spricht man vom RL-Glied.
%width=300px% Attach:94_RLGlied.jpg
Wir können den Strom I(t) zum Zeitpunkt t mit den in den obigen Abschnitten hergeleiteten Formeln berechnen. Der Widerstand R entspricht der Summe der mit der Spule in Reihe liegenden Widerständen. \\
Für den Einschaltvorgang verwendet man
{$ I(t) = I_text(Max) - I_text(Max) * e^(-R/L * t) $}
mit
{$ R = R_S + R_A $}.
Für den Ausschaltvorgang entsprechend
{$ I(t) = I_0 * e^(-R/L * t) $}
mit
{$ R = R_S + R_A + R_B $}
!![[#MagFeldenergie]]{+95. Energie des magnetischen Feldes+}
%width=400px% Attach:95_Schaltung_mit_Propeller.jpg
Ist in der seitlich dargestellten Schaltung der Schalter geschlossen, so fließt nur über die Spule ein Strom, da die Diode den Stromfluss in gleicher Richtung über den Propeller verhindert. \\
Öffnet man den Schalter, so baut sich das Magnetfeld in der Spule ab und verursacht einen Induktionsstrom. Die Elektronen fließen im Uhrzeigersinn durch den inneren Stromkreis - und damit in Durchlassrichtung der Diode. Wir beobachten, dass sich der Propeller dreht. \\
... doch: Warum dreht sich der Propeller? Schließlich fließt keine Energie von der Stromquelle nach, da der Schalter offen ist.
[[<<]]
Offenbar ist im magnetischen Feld Energie gespeichert. Bei Verringerung des magnetischen Flusses wandelt sich diese Energie dies Feldes dann über den Induktionsstrom in elektrische Energie um. \\
Wir werden jetzt versuchen, eine Formel zu finden, mit der wir ausrechnen können, wie viel Energie in dem Feld einer Spule mit Induktivität L steckt, wenn wir den Strom I durch sie hindurch fließen lassen. Dazu betrachten wir diesen Ausschaltvorgang genauer:
[[<<]]
Die Leistung, die im ganzen inneren Stromkreis geleistet wird, lässt sich einfach berechnen:
{$ P = U * I $}
Bezeichner R den elektrischen Widerstand des Kreises, so kann man U durch U = I * R ausdrücken.
{$ => P = U I = I * R * I = R * I^2 $}
Leistung ist definiert als Arbeit pro Zeit. Das bedeutet: Im Zeitraum Δt gilt für die über diesen Zeitraum durchschnittliche Leistung
{$ P = (Delta W)/(Delta t) $}
Die {+momentane+} Leistung zu einem Zeit{+punkt+} t ist dann
{$ P(t) = (dW)/(dt) = W'(t) $}
Die momentane Leistung zum Zeitpunkt t ist also die Ableitung der verrichteten Arbeit zu diesem Zeitpunkt.
[[<<]]
Die ursprünglich im Magnetfeld gespeicherte Energie entspricht nun der über den gesamten Zeitraum verrichteten Arbeit. Da P offenbar die Ableitung der Arbeit ist, erhalten wir die über den gesamten Zeitraum verrichtete Arbeit, indem wir P(t) von t=0 bis t=∞ integrieren:
{$ W_text(mag) = int_0^oo P(t) dt = int_0^oo R*I^2 dt $}
Setzt man für I die für den Ausschaltvorgang hergeleitete Formel ein, folgt:
{$ W_text(mag) = int_0^oo R * (I_0 * e^(-R/L t))^2 dt = int_0^oo R * I_0^2 * e^(-2 * R/L * t) dt $}
R und I_0 sind konstant bleibende Zahlen und können daher vor das Integral geschrieben werden:
{$ W_text(mag) = R * I_0^2 * int_0^oo e^(-2 * R/L *t) dt = R*I_0^2*[-1/2 * L/R * e^(-2 R/L t)]_0^oo = R * I_0^2 * [0-(-1/2 * L/R * 1)] $}
Multiplizieren wir die Klammern aus, erhalten wir die gesuchte Formel für die Magnetfeldenergie:
{$ W_text(mag) = 1/2 * L * I_0^2 $}
Fließt also durch eine Spule mit der Induktivität L der Strom I, so enthält das Magnetfeld der Spule die Energie
{$W_text(mag) = 1/2 * L * I^2 $}
!![[#EnergiedichteMagFeld]]{+96. Die Energiedichte des magnetischen Feldes+}
Doch sitzt die Energie wirklich im magnetischen Feld? - Wenn ja, müsste die Energie W_mag proportional zum vom Feld durchsetzen Volumen sein. \\
Betrachten wir das Feld
{$ B= mu_0 * mu_r * N/l * I $}
einer lang gestreckten Spule. Für ihre Induktivität haben wir bereits die Formel
{$ L = mu_0 * mu_r * (N^2)/(l) * A $}
hergeleitet und können Sie direkt in die Formel für die Energie des Magnetfeldes einsetzen:
{$ W_text(mag) = 1/2 * L * I^2 = 1/2 * mu_0 * mu_r * (N^2)/(l) * A * I^2 $}
Wir formulieren die rechte Seite der Gleichung etwas um:
{$ W_text(mag) = 1/2 * 1/(mu_0 * mu_r) * l * A * mu_0^2 * mu_r^2 * (N^2)/(l^2) * I^2 $}
Durch Kürzen kann man sehen, dass hier nichts anderes steht, als auf der rechten Seite der darüber liegenden Gleichung. Nur wird in dieser Schreibweise einiges sichtbar: Die hinteren Faktoren entsprechen nämlich der magnetischen Flussdichte zum Quadrat:
{$ B^2 = mu_0^2 * mu_r^2 * (N^2)/(l^2) * I^2 $}
Multipliziert man die Grundfläche A der Spule mit dessen Länge l, so erhält man ihr Volumen. Der folgende, ebenfalls in obiger Gleichung steckende Faktor entspricht also dem Volumen des vom Magnetfeld durchdrängten Spuleninneren:
{$ l * A = V $}
Mit diesen Kenntnissen erhalten wir die Formel
{$ W_text(mag) = 1/(2*mu_0*mu_r)*B^2*V $}
{+Tatsache:+} W_mag ist proportional zu V. Die Energie sitzt tatsächlich in dem Feld, welches das Volumen V durchdringt.
[[<<]]
Da die Energie im Feld gespeichert wird, macht es Sinn, eine Energiedichte zu definieren, welche angibt, wie viel Energie das Feld pro Volumeneinheit enthält.
{$ rho_text(mag) = (W_text(mag))/(V) = 1/(2 * mu_0 * mu_r) * B^2 $}
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to:
(:title Selbstinduktion :)
>>frame<<
# %blue% Die Selbstinduktion
# %green% [[#Induktivitaet | Die Induktivität (oder auch Eigeninduktivität)]]
# %green% [[#EinschaltvorgangSelbstinduktion | Selbstinduktion - Der Einschaltvorgang]]
# %blue% Selbstinduktion - Der Ausschaltvorgang
# %blue% Die Halbwertszeit des Stroms beim Ausschaltvorgang
# %blue% Das RL-Glied
# %blue% Energie des magnetischen Feldes
# %blue% Energiedichte des magnetischen Feldes
>><<
!![[#Induktivitaet]]{+90. Die Induktivität (oder auch Eigeninduktivität)+}
Können wir die "Eigeninduktionsspannung" auch berechnen?
Nun: I' gibt an, um wie viel Ampere der Strom pro Sekunde ansteigt. Weil Mu'_0_', Mu'_r_', N und l konstant sind, steigt B mit der Rate
{$ B' = Mu_0 * Mu_r * N/l *I' $}
an, woraus folgt (Wenn die Spulenfläche A konstant bleibt):
{$ dot Phi = A * B' = A * Mu_0 * Mu_r * I' * N/l $}
Da es sich bei der Feldspule auch um die Induktionsspule handelt, ist n = N, woraus für die Induktionsspannung nun folgt:
{$ U_text(ind) = -N * dot Phi = -Mu_0 * Mu_r * (N^2)/l * A * I' $}
Der Vorfaktor von I' besteht also nur aus konstanten Spuleneigenschaften. In der Physik nennt man den, von den Spuleneigenschaften abhängigen Faktor
{$ L = Mu_0 * Mu_r * (N^2)/l * A $}
auch die Induktivität (auch: Eigeninduktivität) der Spule. Je größer die Induktivität einer Spule ist, desto größer ist die in ihr induzierte Spannung bei gleichbleibender Änderungsrate des durch ihr fließenden Stromes:
{$ U_text(ind) = -L * I' $}
Einheit von L: {$ 1Henry = 1 (v_text(S'))/A $}
!![[#EinschaltvorgangSelbstinduktion]]{+91. Selbstinduktion - Der Einschaltvorgang+}
%width=300px% %height=300px% Attach:Selbstinduktion.jpg
Die Gesamtspannung U'(t) an der Spule setzt sich beim Einschaltvorgang aus der von außen angelegten Spannung U'_0_' und der Induktionsspannung zum Zeitpunkt t {$ U'_text(ind)(t) = -L * I'(t) $} zusammen:
{$ U(t) = U_0 + U_text(ind)(t) = U_0 -L * I'(t) $}
Die Spule hat den Widerstand R, über den sich mit U(t) der durch sie und den Stromkreis fließenden Strom I(t) berechnen lässt:
{$ I(t) = (U(t))/R = (U_0)/R - L/R * I'(t) $}
Hieraus erhalten wir die Differentialgleichung für den Einschaltvorgang.
{$ I(t) + L/R * I'(t) = (U_0)/R $}
Hat sich das Mu-Feld fertig aufgebaut und ist daher U'_text(ind)_' = 0, so fließt der maximale Strom {$ I_max = (U_0)/R $}. Mit dieser Bezeichnung erhalten wir für unsere DGL die entgültige Form:
{$ I(t) + L/R * I'(t) = I_max $}
Wir suchen jetzt eine Funktion für den Strom, welche die DGL erfüllt.
{+Experiment:+}
Um einen Ansatz für die Stromfunktion I(t) zu erhalten, zeichnen wir mit CASSY den Messwertgraphen aus obiger Schaltung:
{+Ergebnis:+} Ansatz:
{$ I(t) = I_max - I_max * e^(-R/L *t) $}
-->
{$ I_max - I_max * e^(-R/L * t) + L/R * ? * I-max * e^(-R/L * t) = I-max $}
/-I_max und vorklammern
{$ -I_max * e^(-R/L * t) + L/R * R/L * I_max * e^(-R/L * t) = 0 $}
/ :(I'_max_' * e^(-R/L *)
{$ -1 + L/R * R/L = 0 $}
/+1 / * R/L
1 = 1
--> Die DGL wird durch folgende Funktion gelöst:
{$ I(t) = I_max - I_max * e^(R/L * t) $}
Die Funktion gibt die Stromstärke zum Zeitpunkt t nach dem Einschalten wieder.
>>frame<<
# %blue% Die Selbstinduktion
# %green% [[#Induktivitaet | Die Induktivität (oder auch Eigeninduktivität)]]
# %green% [[#EinschaltvorgangSelbstinduktion | Selbstinduktion - Der Einschaltvorgang]]
# %blue% Selbstinduktion - Der Ausschaltvorgang
# %blue% Die Halbwertszeit des Stroms beim Ausschaltvorgang
# %blue% Das RL-Glied
# %blue% Energie des magnetischen Feldes
# %blue% Energiedichte des magnetischen Feldes
>><<
!![[#Induktivitaet]]{+90. Die Induktivität (oder auch Eigeninduktivität)+}
Können wir die "Eigeninduktionsspannung" auch berechnen?
Nun: I' gibt an, um wie viel Ampere der Strom pro Sekunde ansteigt. Weil Mu'_0_', Mu'_r_', N und l konstant sind, steigt B mit der Rate
{$ B' = Mu_0 * Mu_r * N/l *I' $}
an, woraus folgt (Wenn die Spulenfläche A konstant bleibt):
{$ dot Phi = A * B' = A * Mu_0 * Mu_r * I' * N/l $}
Da es sich bei der Feldspule auch um die Induktionsspule handelt, ist n = N, woraus für die Induktionsspannung nun folgt:
{$ U_text(ind) = -N * dot Phi = -Mu_0 * Mu_r * (N^2)/l * A * I' $}
Der Vorfaktor von I' besteht also nur aus konstanten Spuleneigenschaften. In der Physik nennt man den, von den Spuleneigenschaften abhängigen Faktor
{$ L = Mu_0 * Mu_r * (N^2)/l * A $}
auch die Induktivität (auch: Eigeninduktivität) der Spule. Je größer die Induktivität einer Spule ist, desto größer ist die in ihr induzierte Spannung bei gleichbleibender Änderungsrate des durch ihr fließenden Stromes:
{$ U_text(ind) = -L * I' $}
Einheit von L: {$ 1Henry = 1 (v_text(S'))/A $}
!![[#EinschaltvorgangSelbstinduktion]]{+91. Selbstinduktion - Der Einschaltvorgang+}
%width=300px% %height=300px% Attach:Selbstinduktion.jpg
Die Gesamtspannung U'(t) an der Spule setzt sich beim Einschaltvorgang aus der von außen angelegten Spannung U'_0_' und der Induktionsspannung zum Zeitpunkt t {$ U'_text(ind)(t) = -L * I'(t) $} zusammen:
{$ U(t) = U_0 + U_text(ind)(t) = U_0 -L * I'(t) $}
Die Spule hat den Widerstand R, über den sich mit U(t) der durch sie und den Stromkreis fließenden Strom I(t) berechnen lässt:
{$ I(t) = (U(t))/R = (U_0)/R - L/R * I'(t) $}
Hieraus erhalten wir die Differentialgleichung für den Einschaltvorgang.
{$ I(t) + L/R * I'(t) = (U_0)/R $}
Hat sich das Mu-Feld fertig aufgebaut und ist daher U'_text(ind)_' = 0, so fließt der maximale Strom {$ I_max = (U_0)/R $}. Mit dieser Bezeichnung erhalten wir für unsere DGL die entgültige Form:
{$ I(t) + L/R * I'(t) = I_max $}
Wir suchen jetzt eine Funktion für den Strom, welche die DGL erfüllt.
{+Experiment:+}
Um einen Ansatz für die Stromfunktion I(t) zu erhalten, zeichnen wir mit CASSY den Messwertgraphen aus obiger Schaltung:
{+Ergebnis:+} Ansatz:
{$ I(t) = I_max - I_max * e^(-R/L *t) $}
-->
{$ I_max - I_max * e^(-R/L * t) + L/R * ? * I-max * e^(-R/L * t) = I-max $}
/-I_max und vorklammern
{$ -I_max * e^(-R/L * t) + L/R * R/L * I_max * e^(-R/L * t) = 0 $}
/ :(I'_max_' * e^(-R/L *)
{$ -1 + L/R * R/L = 0 $}
/+1 / * R/L
1 = 1
--> Die DGL wird durch folgende Funktion gelöst:
{$ I(t) = I_max - I_max * e^(R/L * t) $}
Die Funktion gibt die Stromstärke zum Zeitpunkt t nach dem Einschalten wieder.