PhysikSkript

Induktion und dessen Anwendungen

Induktion in einem geraden Leiterstück

Magnetische Felder üben auf stromdurchflossene Leiter Kräfte aus, soviel ist bereits bekannt:

Legt man, wie oben dargestellt, auf zwei ebene, runde Metallstangen im Magnetfeld eine dritte, frei bewegliche und lässt durch diese den Strom I fließen, so wirkt die Lorentzkraft auf die Elektronen und die bewegliche Stange wird mit der Kraft F = B*I*d beschleunigt.
Anwendungsgebiete sind Elektromotoren, die elektrische Energie in mechanische Energie wandeln.

Doch: Kann man auch umgekehrt mechanische in elektrische Energie wandeln?
=> Kehren wir das obige Experiment einfach um !

Experiment: Wie unten dargestellt lassen wir jetzt eine Stativstange durch das Magnetfeld rollen und stellen mit einem Spannungsmessgerät fest: Es entsteht tatsächlich eine Spannung Uind, die wir Induktionsspannung nennen.

Wie können wir das Zustandekommen der Kraft F erklären?
Erklärung:
Zusammen mit der Stange bewegen sich auch die in ihr enthaltenen Leitungselektronen mit der Geschwindigkeit vs senkrecht zu den Magnetfeldlinien. Dadurch wirkt auf sie aber die Lorentzkraft FL, weshalb sie sich entlang der Stange nach unten bewegen. In der Folge lädt sich die untere Stange negativ und die obere positiv auf. Hierdurch entsteht jedoch ein elektrisches Feld E, welches eine zur Lorentzkraft entgegen gesetzte elektrische Kraft auf das Elektron ausübt.
Die maximale Spannung Uind zwischen den Stangen wird erreicht, wenn die Kräfte im Gleichgewicht sind:

Das Vorzeichen von FE ist negativ gewählt, weil sie der Kraft FL entgegen gesetzt gerichtet ist. Setzt man die uns bekannten Formeln für die Kräfte ein, führt dies zur Formel

Mit E= Uind/d folgt

und somit für die Spannung zwischen oberen und unteren Ende der Stangen

=>

So lässt sich die Induktionsspannung aus der magnetischen Flussdichte B, der Länge des Leiters d und seiner Geschwindigkeit senkrecht zu den Feldlinien vs berechnen.

Zusammengefasst:

  • Bewegen wir eine Leiter senkrecht zu den Feldlinien eines magnetischen Feldes, so entsteht zwischen den Enden des Leiters eine Spannung Uind, welche wir Induktionsspannung nennen.
  • Hat der Leiter die Länge d und bewegt sich mit der Geschwindigkeit vs senkrecht zu einem Magnetfeld der Flussdichte B, so beträgt die Induktionsspannung

Magnetischer Fluss, Flussdichte und deren anschauliche Bedeutung

Magnetische Flussdichte:

Wir haben die magnetische Flussdichte B als Maß für die Stärke des magnetischen Feldes kennen gelernt. Stellen wir uns Magnetfelder durch Feldlinien repräsentiert vor, so sind sie dort besonders stark, wo die Feldlinien besonders dicht sitzen. Der Begriff der Flussdichte entstammt nun genau dieser Vorstellung:
Denkt man sich eine Ebene, die senkrecht von einem homogenen Magnetfeld durchdrungen wird, so kann man sich die Flussdichte anschaulich als die Dichte der die Ebene durchdringenden Feldlinien ("Feldlinien pro Fläche") vorstellen.
Diese Vorstellung geht auf Michael Faraday (1791-1867) zurück.

Magnetischer Fluss:

Der magnetische Fluss hatte für Faraday die Bedeutung der Anzahl an Feldlinien, die eine bestimmte Fläche senkrecht durchdringen.

Der magnetische Fluss hängt damit nicht nur von der Stärke des Feldes (Der Flussdichte) ab, sondern auch von der Größe der Fläche: Je größer die Fläche, desto mehr Feldlinien durchdringen sie und desto größer ist somit der magnetische Fluss.

Während die Flussdichte mit B abgekürzt wird, erhält der magnetische Fluss das Symbol Φ (großes griechisches "Phi"). Weil die Flussdichte als Feldlinien pro Fläche gedacht werden kann, erhält man die Anzahl der Feldlinien durch eine Fläche A durch die Multiplikation der Flussdichte mit der Fläche:

Einheit des magnetischen Flusses:

Zusammengefasst:

  • Wird eine bestimmte Fläche A von einem Magnetfeld durchdrungen, so entspricht der magnetische Fluss anschaulich der "Anzahl" an Feldlinien, die durch diese Fläche gehen.
  • Die magnetische Flussdichte hat die anschauliche Bedeutung von Feldlinien pro Fläche. Die Flussdichte ist somit ein Maß dafür, wie dicht die Feldlinien sitzen.

Faraday's Vorstellung von der Induktion

Faraday gelang es, mithilfe des Begriffes des magnetischen Flusses

dem Effekt der elektromagnetischen Induktion noch umfassender zu beschreiben, als dies mithilfe von Lorentzkräften möglich wäre. Seine Erklärung der Induktion soll hier anhand einer in ein homogenes Magnetfeld eintauchenden Leiterschleife erklärt werden.

Fall 1:

Wird die Leiterschleife eingeführt, so wirkt zunächst nur auf die Leitungselektronen der unteren Seite der Schleife die Lorentzkraft nach links. An dem oberen Anschluss des Spannungsmessers entsteht dadurch ein negativer Pol. Hat der Leiter die Länge d und wird mit der Geschwindigkeit vs in das Magnetfeld mit Flussdichte B eingeführt, beträgt die Spannung

Faraday deutete dies so: Er erkannte, dass sich mit der größer werdenden, vom Magnetfeld durchsetzten Fläche der magnetische Fluss

gleichermaßen erhöht und zog die Schlussfolgerung, dass bei zunehmendem Fluss eine Spannung induziert wird.

Fall 2:
Hier wird der Rahmen vollständig vom Magnetfeld durchdrungen und bewegt sich in diesem mit der Geschwindigkeit v. Die Lorentzkraft der oberen Drahtseile wirkt nach links, die der unteren Drahtseile ebenfalls. Ergebnis: Die Kräfte heben sich weg und keine Spannung wird induziert.
Faraday erkannte: Der magnetische Fluss bleibt konstant. Offenbar wird dann keine Spannung induziert, wenn der magnetische Fluss konstant bleibt.

Fall 3:
Hier wirkt nur auf die Leitungselektronen des oberen Drahtes die Lorentzkraft nach links. Die Elektronen fließen daher zum unteren Anschluss des Messgerätes. Der obere Anschluss ist hier, im Gegensatz zu Fall 1, positiv.
Faraday sah in der Abnahme der vom Feld durchdrungenen Fläche die Ursache für die Induktionsspannung. Den Grund für den Unterschied im Vorzeichen im Vergleich zu Fall 1 sah er in der Ab- statt Zunahme von der Fläche A.

Faraday's Vorstellung kompakt:
Faraday führte Induktionsspannungen nicht auf die Lorentzkräfte zurück - diese wurden erst nach seiner Lebzeit entdeckt. Er führte Induktionsspannungen auf die Änderung des magnetischen Flusses durch die betrachtete Leiterschleife zurück. Nur, wenn der magnetische Fluss entweder zunimmt oder abnimmt, wird eine Spannung induziert.
Faraday's Vorstellung wirkt zunächst komplizierter als die uns schon vertraute Vorstellung über Lorentzkräfte. Allerdings wird sich später herausstellen, dass das Phänomen der Induktion mit der Änderungsrate von magnetischen Flüssen deutlich umfassender beschrieben werden kann.

In der unteren Abbildung wird der erste Vorteil der Faraday'schen Vorstellung sichtbar: Hinsichtlich gebogener Leiter, die sich stellenweise nicht parallel zu den Feldlinien bewegen, sind Lorentzkräfte nur sehr schwer zu berechnen.

Faraday sieht die Induktionsspannung durch die zeitliche Änderung des magnetischen Flusses begründet. Im Beispiel reicht es somit, die Zunahme der vom Magnetfeld durchdrungenen Fläche der Leiterschleife zu betrachten.

Zusammengefasst:

  • Bleibt der magnetische Fluss durch die Fläche einer Leiterschleife konstant, so wird keine Spannung induziert.
  • Vergrößert sich der Fluss durch die Leiterschleife, so wird eine Spannung induziert.
  • Verkleinert sich der Fluss, so wird ebenfalls eine Spannung induziert - allerdings mit umgekehrtem Vorzeichen.

Induktionsspannung als Änderungsrate des magnetischen Flusses

Im Folgenden werden wir durch Faraday's Vorstellung eine Formel ermitteln, wie uns das ebenfalls zur Induktionsspannung mittels Lorentzkräfte gelungen ist.

Δs ist die Eintauchtiefe, der oben dargestellten Leiterschleife im Magnetfeld, wenn die Zeit Δt verstrichen ist. Dadurch gelten folgende Zusammenhänge für die Eintauchgeschwindigkeit Vs und die vom Magnetfeld durchdrungene Fläche ΔA:

und

Daraus folgt für die Induktionsspannung:

... und mit der Formel für ΔA ...

Weil die vom Feld durchsetzte Fläche in der Zeit Δt um ΔA ansteigt, nimmt der magnetische Fluss Phi = B * A im gleichen Maße um ΔPhi = B * ΔA zu. Dieser Term ( B * ΔA ) entspricht genau dem Zähler im obigen Bruch für Uind. Es folgt:

Dies ist aber nur die durchschnittliche Induktionsspannung im Zeitraum Δt. Für die momentante Induktionsspannung zum Zeitpunkt t erhält man anstatt des Differenzenquotienten ΔPhi/Δt die Ableitung des magnetischen Flusses nach der Zeit:

... wobei die Ableitung nach der Zeit meist durch einen Punkt über den Buchstaben gekennzeichnet wird

Dies ist das berühmte Faraday'sche Induktionsgesetz. Es ist schon erstaunlich, wie einfach ein komplexer Vorgang wie die Induktion mit den Mitteln der Mathematik beschrieben werden kann.

Zusammengefasst:

  • Die in einer Leiterschleife (mit einer Windung) induzierte Spannung entspricht der negativen Änderungsrate (=Ableitung) des Flusses

Induktionsspannung in Spulen

Bei einer Spule mit n-Windungen handelt es sich im Grunde um n hintereinandergeschaltete Leiterschleifen. Führt man eine solche Spule entsprechend in ein Magnetfeld ein, so addieren sich die Induktionsspannungen der einzelnen Windungen. FÜr eine Spule mit n Windungen gilt somit:

Induktion auch ohne Bewegung?

Die Formel

sagt aus, dass die Induktionsspannung in einer Spule von der Windungsanzahl und der Änderungsrate (= Ableitung)des magnetischen Flusses abhängt. Der magnetische Fluss ändert sich, wenn sich die von dem Magnetfeld durchdrungene Fläche A der Spule ändert. Für eine konstante Flussdichte B folgt also wegen
für die Induktionsspannung in der Spule

(bei konstanten B), wenn
die Flächenänderung pro Zeit ist.

Der magnetische Fluss ändert sich aber auch, wenn sich die Flussdichte B ändert, während die Fläche A konstant bleibt - also dann, wenn wir die Spule nicht bewegen, sondern lediglich die Stärke des Magnetfeldes ändern.
Doch: Wird dann auch eine Spannung induziert? Können wir also aus Faraday's gleichungen schlussfolgern, dass für eine völlig unbewegte Spule

gilt?
Prüfen wir diese Formel an einem Experiment!

Experiment:
* Das sich ändernde Magnetfeld erzeugen wir durch eine lang gestreckte Spule, die innen hohl ist, indem wir den durch sie hindurch fließenden Strom ändern. Diese Spule bezeichnen wir als Feldspule:

Ihre magnetische Flussdichte können wir mithilfe der uns bekannten Formel

berechnen. Ändern wir den Strom I, beträgt also die Änderungsrate des Magnetfeldes
wenn der Strom mit der Rate
vergrößert oder verkleinert wird.
Experimentell kann die Änderungsrate des Stromes gemessen werden, indem man den Strom linear ansteigen lässt und ihn im I-t-Diagramm ansteigt. Die Steigung im I-t-Diagramm entspricht dann der Änderungsrate des Stromes.
* Anschließend schieben wir eine kleinere Spule, die wir mit Induktionsspule bezeichnen, in den Hohlraum der äußeren Spule hinein. Weil sich die Induktionsspule im sich ändernden magnetischen Feld er Feldspule befindet, wird in sie eine Spannung Uind induziert, die wir messen können. Rechnerisch müsste sich folgender Wert ergeben:

Ergebnis:
Der gemessene Wert für die Induktionsspannung stimmt mit dem berechneten Wert bestens überein.

Schlussfolgerung:
Auch durch die reine Änderung der Flussdichte wird eine Spannung - wie durch das Faraday'sche Induktionsgesetze vorhergesagt - in die ansonsten ruhende Leiterschleife induziert. Dies lässt sich nicht durch Lorentzkräfte erklären.

mit
ist somit ein allgemeines Gesetz, aus dem die beiden in der Zusammenfassung genannten Spezialfälle folgen:

Zusammengefasst:
Für die Induktionsspannung gilt ...

  1. ... bei konstantbleibender magnetischer Flussdichte B und veränderlicher Fläche A:
  2. Bei konstantbleibender Fläche A und veränderlicher Flussdichte B:

Elektrische Wirbelfelder

Verbinden wir den Pluspol einer Spannungsquelle U über einen Kupferdraht mit dessen Minuspol, so fließt deshalb ein Strom, wie über die Länge d des Drahtes die elektrische Feldstärke E=U/d die Elektronen mit der Kraft F=q*E von Minus nach Plus treibt:

Gehen wir aber, wie in der folgenden Abbildung dargestellt, von einem zu einem Ring geschlossenen, sich nicht bewegenden Kupferdraht aus, welcher sich in einem stärker werdenden Magnetfeld befindet, so können wir experimentell einen Kreisstrom feststellen, welcher aufgrund der Induktionsspannung U_ind fließt.

Da sich der Kupferring nicht bewegt, können wir es nicht über die Lorentzkraft erklären, dass sich die Elektronen im Draht in Bewegung setzen. Wir müssen also annehmen, dass das sich verändernde Magnetfeld ein ringförmiges elektrisches Feld erzeugt, welches die Elektronen durch den Draht zieht. Da dieses Feld weder Anfang noch Ende hat, nennen wir es elektrisches Wirbelfeld. Seine Existenz können wir durch die sogenannte elektrodenlose Ringentladung prüfen.

Zusammengefasst:

  • Ändert ein magnetisches Feld seine Flussdichte, so entsteht ein ringförmiges elektrisches Wirbelfeld.
  • Befindet sich ein Leiterring in dem Magnetfeld, so bewirkt das elektrische Wirbelfeld einen Strom, der im Ring kreisförmig fließt.

Elektrodenlose Ringentladung durch elektrische Wirbelfelder

Experiment:
Die obige Schaltung können wir erst dann vollständig nachvollziehen, wenn wir uns mit Schwingkreisen beschäftigt haben. Für diesen Abschnitt braucht man nur folgende Kenntnis:
Über die abgebildete Schaltung wird ein hochfrequenter Wechselstrom generiert, welcher über die Spule fließt und dort ein sich überaus schnell änderndes Magnetfeld erzeugt.
Wenn die elektrischen Wirbelfelder tatsächlich existieren, dann müsste durch eine ausreichend starke zeitliche Magnetfeldänderung ein so starkes elektrisches Wirbelfeld entstehen, dass die für einen Durchschlag notwendige elektrische Feldstärke überschritten wird und ein ringförmiger "Blitz" - ohne Anfang und ohne Ende - entsteht.

Da die Mittel der Physik-Sammlung für einen Blitz in "normaler Luft" nicht ausreichen, verwenden wir eine mit Neon gefüllte Glaskugel mit einer etwas niedrigeren für einen Durchschlag notwendigen elektrischen Feldstärke.

Ergebnis:
Im Experiment lässt sich die "Ringentladung" tatsächlich beobachten. Dies ist ein wichtiges Indiz für die Existenz der elektrischen Wirbelfelder.

Weitere Beobachtung:
Bei genauer Betrachtung sieht man, dass die Intensität der Entladung mit dem Radius zunimmt. Das elektrische Feld scheint also in den äußeren Bereichen stärker zu sein. Lässt sich das mit unseren bisherigen Kenntnissen erklären?

Der Entladungsradius mit Radius r wird durch die Induktionsspannung

erzeugt, da die Fläche eines Kreises
ist.
Das elektrische Wirbelfeld hat die Feldstärke
, wobei d hier die Strecke des Kreisumfangs
ist. Setzt man die Größen Uind und d in die Gleichung für E ein, erhält man

Aus der erhaltenen Formel lässt sich tatsächlich ablesen:
Die Stärke des elektrischen Wirbelfeldes nimmt linear mit dem Radius zu. Das erklärt weshalb die Ringentladung mit größerem Radius stärker ist.

Zusammengefasst:

  • Ändert sich ein homogenes magnetisches Feld, so ist die Feldstärke des entstehenden elektrischen Wirbelfeldes proportional zum Radius.

Anwendungen elektrischer Wirbelfelder

Elektrische Wirbelfelder haben zahlreiche Anwendungen. Zwei Beispiele:

  • Induktionsherde: Durch sich stark ändernde Magnetfelder wird im Boden der Kochtopfer ein starker Wirbelstrom induziert. Elektrische Energie wird wegen des Stroms dort in Wärme umgewandelt, wo sie gebraucht wird: Im Topf!
  • Transformatoren: Eine Primärspule erzeugt ein zeitlich schankendes Magnetfeld. Durch das elektrische Wirbelfeld wird in einer Sekujndärpule eine Spannung induziert, dessen Größe von der Anzahl der Windungen abhängt.

Das Lenz'sche Gesetz

Wie in der Skizze dargestellt, wird einem an einem Faden aufgehängten Aluminiumring ein Stabmagnet genähert. Dabei beobachten wir, dass der Aluring, ohne dass er durch den Magneten berührt wird, nach hinten wegschwingt.

Erklärung:
Durch das Annähern des Magneten vergrößert sich der magnetische Fluss durch den Ring. Dadurch wird eine Spannung

im Ring induziert, welche wegen des geringen elektrischen Widerstand R des Rings einen relativ großen Induktionsstrom
verursacht.
Der Ring wird dadurch zum stromdurchflossenen Leiter und durch den Stromfluss wird ein magnetisches Feld erzeugt. Offensichtlich ist dieses Magnetfeld des Rings dem Feld des Stabmagneten entgegen gerichtet. Dadurch stößt sich der Ring ab und schwingt nach hinten weg.
Der Strom ist also so gepolt, dass sein Magnetfeld dem durch die Annäherung zunehmenden Stabmagnetfeld entgegenwirkt. Heinrich Lenz formulierte 1834 dazu folgendes nach ihm benanntes Gesetz:

Zusammengefasst:

  • Lenz'sche Regel: Die Induktionsspannung ist so gepolt, dass sie durch ihren Strom ihrer Ursache entgegenwirken kann.

Der Zusammenhang zwischen Lenz'schem Gesetz & Energieerhalungssatz

Bei dem rechts gezeichneten Experiment handelt es sich um den selben Aufbau wie in Nr. 77:
Eine Metallstange rollt durch ein Magnetfeld, wodurch die Spannung

induziert wird.
Aufgrund dieser Spannung fließt der Strom I durch die Lampe, welche mit der Leistung P= U*I leuchtet. Nach der Zeit t wurde also folgende elektrische Arbeit verrichtet:

Aber: Wo kommt diese Energie her? Wird sie tatsächlich aus dem Nichts erzeugt???
Der Strom fließt auch durch die vollende Metallstange. Damit erfährt sie die eingezeichnete Kraft

entgegen der Bewegungsrichtung der Stange. Die mechanische Arbeit, die verrichtet werden muss, um die Geschwindigkeit v_s aufrecht zu erhalten, lässt sich über die Definitionsgleichung der Arbeit berechnen:

Mit der obigen Formel für die Kraft F und dem Weg-Zeit-Gesetz s=v*t folgt daraus durch Einsetzen:

Ein Vergleich der Formel für die mechanisch verrichtete Arbeit mit der oben notierten Formel für die elektrische Arbeit zeigt, dass die aufgrund der Induktion verrichtete elektrische Arbeit der Arbeit entspricht, die am Stab mechanisch verrichtet werden muss, um die Bewegung aufrecht zu erhalten. Es handelt sich also nur um einen Umwandlungsprozess von mechanischer Energie in elektrische Energie.
Hiermit begründet sich auch die Lenz'sche Regel:
"Der induzierte Strom verursacht eine Kraft, die seiner Ursache (der Bewegung des Stabs durch das magnetische Feld) entgegen wirkt." Diese Regel folgt schlicht aus dem Energieerhaltungssatz bei Induktionsvorgängen.

Zusammengefasst:

  • Die Lenz'sche Regel ist eine Folge aus dem Energieerhaltungssatz.

Wirbelströme

Experiment:
Wir lassen eine an einer Drehachse befestigte Aluminiumplatte pendeln und schalten nach kurzer Zeit ein starkes, lokal begrenztes Magnetfeld hinzu, durch welches sich die Platte hindurch bewegt.

Wir beobachten, dass durch das Hinzuschalten des Feldes die Platte stark gebremst wird. Wie lässt sich das erklären?

Attach:>Wirbelströme_in_Platten.jpg Δ

Mit der Aluminiumplatte bewegen sich auch die Elektronen mit der Geschwindigkeit v durch das Magnetfeld. Dadurch erfahren sie die nach oben gerichtete Lorentzkraft F_L, wodurch sich die Leitungselektronen innerhalb des Magnetfeldes nach oben und in den nicht vom Feld durchdrungenen Teil der Platte zurück bewegen. Die auf diese Weise entstehenden Ströme nennt man Wirbelströme.
Nach der Lenz´schen Regel ist der so induzierte Strom so gerichtet, dass sein Magnetfeld seiner Ursache, der Bewegung der Platte, entgegen wirkt. Daher bremst die Platte im Feld stark ab.

Wirbelstrombremsen finden beispielsweise bei Hochgeschwindigkeitszügen und zum Abbremsen von Freefall-Towern Anwendung.

Zusammengefasst:

  • Als Wirbelstrom bezeichnet man einen in sich geschlossenen Strom innerhalb eines Metalls.
  • Wirbelströme können verursacht werden, indem man eine Metallscheibe durch ein Magnetfeld bewegt. Sie entstehen aber auch durch magnetische Wechselfelder.