PhysikSkript

Induktion und dessen Anwendungen

Induktion in einem geraden Leiterstck

Magnetische Felder ben auf stromdurchflossene Leiter Krfte aus, soviel ist bereits bekannt:

Legt man, wie oben dargestellt, auf zwei ebene, runde Metallstangen im Magnetfeld eine dritte, frei bewegliche und lsst durch diese den Strom I flieen, so wirkt die Lorentzkraft auf die Elektronen und die bewegliche Stange wird mit der Kraft F = B*I*d beschleunigt.
Anwendungsgebiete sind Elektromotoren, die elektrische Energie in mechanische Energie wandeln.

Doch: Kann man auch umgekehrt mechanische in elektrische Energie wandeln?
=> Kehren wir das obige Experiment einfach um !

Experiment: Wie unten dargestellt lassen wir jetzt eine Stativstange durch das Magnetfeld rollen und stellen mit einem Spannungsmessgert fest: Es entsteht tatschlich eine Spannung Uind, die wir Induktionsspannung nennen.

Wie knnen wir das Zustandekommen der Kraft F erklren?
Erklrung:
Zusammen mit der Stange bewegen sich auch die in ihr enthaltenen Leitungselektronen mit der Geschwindigkeit vs senkrecht zu den Magnetfeldlinien. Dadurch wirkt auf sie aber die Lorentzkraft FL, weshalb sie sich entlang der Stange nach unten bewegen. In der Folge ldt sich die untere Stange negativ und die obere positiv auf. Hierdurch entsteht jedoch ein elektrisches Feld E, welches eine zur Lorentzkraft entgegen gesetzte elektrische Kraft auf das Elektron ausbt.
Die maximale Spannung Uind zwischen den Stangen wird erreicht, wenn die Krfte im Gleichgewicht sind:

Das Vorzeichen von FE ist negativ gewhlt, weil sie der Kraft FL entgegen gesetzt gerichtet ist. Setzt man die uns bekannten Formeln fr die Krfte ein, fhrt dies zur Formel

Mit E= Uind/d folgt

und somit fr die Spannung zwischen oberen und unteren Ende der Stangen

=>

So lsst sich die Induktionsspannung aus der magnetischen Flussdichte B, der Lnge des Leiters d und seiner Geschwindigkeit senkrecht zu den Feldlinien vs berechnen.

Zusammengefasst:

  • Bewegen wir eine Leiter senkrecht zu den Feldlinien eines magnetischen Feldes, so entsteht zwischen den Enden des Leiters eine Spannung Uind, welche wir Induktionsspannung nennen.
  • Hat der Leiter die Lnge d und bewegt sich mit der Geschwindigkeit vs senkrecht zu einem Magnetfeld der Flussdichte B, so betrgt die Induktionsspannung

Magnetischer Fluss, Flussdichte und deren anschauliche Bedeutung

Magnetische Flussdichte:

Wir haben die magnetische Flussdichte B als Ma fr die Strke des magnetischen Feldes kennen gelernt. Stellen wir uns Magnetfelder durch Feldlinien reprsentiert vor, so sind sie dort besonders stark, wo die Feldlinien besonders dicht sitzen. Der Begriff der Flussdichte entstammt nun genau dieser Vorstellung:
Denkt man sich eine Ebene, die senkrecht von einem homogenen Magnetfeld durchdrungen wird, so kann man sich die Flussdichte anschaulich als die Dichte der die Ebene durchdringenden Feldlinien ("Feldlinien pro Flche") vorstellen.
Diese Vorstellung geht auf Michael Faraday (1791-1867) zurck.

Magnetischer Fluss:

Der magnetische Fluss hatte fr Faraday die Bedeutung der Anzahl an Feldlinien, die eine bestimmte Flche senkrecht durchdringen.

Der magnetische Fluss hngt damit nicht nur von der Strke des Feldes (Der Flussdichte) ab, sondern auch von der Gre der Flche: Je grer die Flche, desto mehr Feldlinien durchdringen sie und desto grer ist somit der magnetische Fluss.

Whrend die Flussdichte mit B abgekrzt wird, erhlt der magnetische Fluss das Symbol Φ (groes griechisches "Phi"). Weil die Flussdichte als Feldlinien pro Flche gedacht werden kann, erhlt man die Anzahl der Feldlinien durch eine Flche A durch die Multiplikation der Flussdichte mit der Flche:

Einheit des magnetischen Flusses:

Zusammengefasst:

  • Wird eine bestimmte Flche A von einem Magnetfeld durchdrungen, so entspricht der magnetische Fluss anschaulich der "Anzahl" an Feldlinien, die durch diese Flche gehen.
  • Die magnetische Flussdichte hat die anschauliche Bedeutung von Feldlinien pro Flche. Die Flussdichte ist somit ein Ma dafr, wie dicht die Feldlinien sitzen.

Faraday's Vorstellung von der Induktion

Faraday gelang es, mithilfe des Begriffes des magnetischen Flusses

dem Effekt der elektromagnetischen Induktion noch umfassender zu beschreiben, als dies mithilfe von Lorentzkrften mglich wre. Seine Erklrung der Induktion soll hier anhand einer in ein homogenes Magnetfeld eintauchenden Leiterschleife erklrt werden.

Fall 1:

Wird die Leiterschleife eingefhrt, so wirkt zunchst nur auf die Leitungselektronen der unteren Seite der Schleife die Lorentzkraft nach links. An dem oberen Anschluss des Spannungsmessers entsteht dadurch ein negativer Pol. Hat der Leiter die Lnge d und wird mit der Geschwindigkeit vs in das Magnetfeld mit Flussdichte B eingefhrt, betrgt die Spannung

Faraday deutete dies so: Er erkannte, dass sich mit der grer werdenden, vom Magnetfeld durchsetzten Flche der magnetische Fluss

gleichermaen erhht und zog die Schlussfolgerung, dass bei zunehmendem Fluss eine Spannung induziert wird.

Fall 2:
Hier wird der Rahmen vollstndig vom Magnetfeld durchdrungen und bewegt sich in diesem mit der Geschwindigkeit v. Die Lorentzkraft der oberen Drahtseile wirkt nach links, die der unteren Drahtseile ebenfalls. Ergebnis: Die Krfte heben sich weg und keine Spannung wird induziert.
Faraday erkannte: Der magnetische Fluss bleibt konstant. Offenbar wird dann keine Spannung induziert, wenn der magnetische Fluss konstant bleibt.

Fall 3:
Hier wirkt nur auf die Leitungselektronen des oberen Drahtes die Lorentzkraft nach links. Die Elektronen flieen daher zum unteren Anschluss des Messgertes. Der obere Anschluss ist hier, im Gegensatz zu Fall 1, positiv.
Faraday sah in der Abnahme der vom Feld durchdrungenen Flche die Ursache fr die Induktionsspannung. Den Grund fr den Unterschied im Vorzeichen im Vergleich zu Fall 1 sah er in der Ab- statt Zunahme von der Flche A.

Faraday's Vorstellung kompakt:
Faraday fhrte Induktionsspannungen nicht auf die Lorentzkrfte zurck - diese wurden erst nach seiner Lebzeit entdeckt. Er fhrte Induktionsspannungen auf die nderung des magnetischen Flusses durch die betrachtete Leiterschleife zurck. Nur, wenn der magnetische Fluss entweder zunimmt oder abnimmt, wird eine Spannung induziert.
Faraday's Vorstellung wirkt zunchst komplizierter als die uns schon vertraute Vorstellung ber Lorentzkrfte. Allerdings wird sich spter herausstellen, dass das Phnomen der Induktion mit der nderungsrate von magnetischen Flssen deutlich umfassender beschrieben werden kann.

In der unteren Abbildung wird der erste Vorteil der Faraday'schen Vorstellung sichtbar: Hinsichtlich gebogener Leiter, die sich stellenweise nicht parallel zu den Feldlinien bewegen, sind Lorentzkrfte nur sehr schwer zu berechnen.

Faraday sieht die Induktionsspannung durch die zeitliche nderung des magnetischen Flusses begrndet. Im Beispiel reicht es somit, die Zunahme der vom Magnetfeld durchdrungenen Flche der Leiterschleife zu betrachten.

Zusammengefasst:

  • Bleibt der magnetische Fluss durch die Flche einer Leiterschleife konstant, so wird keine Spannung induziert.
  • Vergrert sich der Fluss durch die Leiterschleife, so wird eine Spannung induziert.
  • Verkleinert sich der Fluss, so wird ebenfalls eine Spannung induziert - allerdings mit umgekehrtem Vorzeichen.

Induktionsspannung als nderungsrate des magnetischen Flusses

Im Folgenden werden wir durch Faraday's Vorstellung eine Formel ermitteln, wie uns das ebenfalls zur Induktionsspannung mittels Lorentzkrfte gelungen ist.

Δs ist die Eintauchtiefe, der oben dargestellten Leiterschleife im Magnetfeld, wenn die Zeit Δt verstrichen ist. Dadurch gelten folgende Zusammenhnge fr die Eintauchgeschwindigkeit Vs und die vom Magnetfeld durchdrungene Flche ΔA:

und

Daraus folgt fr die Induktionsspannung:

... und mit der Formel fr ΔA ...

Weil die vom Feld durchsetzte Flche in der Zeit Δt um ΔA ansteigt, nimmt der magnetische Fluss Phi = B * A im gleichen Mae um ΔPhi = B * ΔA zu. Dieser Term ( B * ΔA ) entspricht genau dem Zhler im obigen Bruch fr Uind. Es folgt:

Dies ist aber nur die durchschnittliche Induktionsspannung im Zeitraum Δt. Fr die momentante Induktionsspannung zum Zeitpunkt t erhlt man anstatt des Differenzenquotienten ΔPhi/Δt die Ableitung des magnetischen Flusses nach der Zeit:

... wobei die Ableitung nach der Zeit meist durch einen Punkt ber den Buchstaben gekennzeichnet wird

Dies ist das berhmte Faraday'sche Induktionsgesetz. Es ist schon erstaunlich, wie einfach ein komplexer Vorgang wie die Induktion mit den Mitteln der Mathematik beschrieben werden kann.

Zusammengefasst:

  • Die in einer Leiterschleife (mit einer Windung) induzierte Spannung entspricht der negativen nderungsrate (=Ableitung) des Flusses

Induktionsspannung in Spulen

Bei einer Spule mit n-Windungen handelt es sich im Grunde um n hintereinandergeschaltete Leiterschleifen. Fhrt man eine solche Spule entsprechend in ein Magnetfeld ein, so addieren sich die Induktionsspannungen der einzelnen Windungen. Fr eine Spule mit n Windungen gilt somit:

Induktion auch ohne Bewegung?

Die Formel

sagt aus, dass die Induktionsspannung in einer Spule von der Windungsanzahl und der nderungsrate (= Ableitung)des magnetischen Flusses abhngt. Der magnetische Fluss ndert sich, wenn sich die von dem Magnetfeld durchdrungene Flche A der Spule ndert. Fr eine konstante Flussdichte B folgt also wegen
fr die Induktionsspannung in der Spule

(bei konstanten B), wenn
die Flchennderung pro Zeit ist.

Der magnetische Fluss ndert sich aber auch, wenn sich die Flussdichte B ndert, whrend die Flche A konstant bleibt - also dann, wenn wir die Spule nicht bewegen, sondern lediglich die Strke des Magnetfeldes ndern.
Doch: Wird dann auch eine Spannung induziert? Knnen wir also aus Faraday's gleichungen schlussfolgern, dass fr eine vllig unbewegte Spule

gilt?
Prfen wir diese Formel an einem Experiment!

Experiment:
* Das sich ndernde Magnetfeld erzeugen wir durch eine lang gestreckte Spule, die innen hohl ist, indem wir den durch sie hindurch flieenden Strom ndern. Diese Spule bezeichnen wir als Feldspule:

Ihre magnetische Flussdichte knnen wir mithilfe der uns bekannten Formel

berechnen. ndern wir den Strom I, betrgt also die nderungsrate des Magnetfeldes
wenn der Strom mit der Rate
vergrert oder verkleinert wird.
Experimentell kann die nderungsrate des Stromes gemessen werden, indem man den Strom linear ansteigen lsst und ihn im I-t-Diagramm ansteigt. Die Steigung im I-t-Diagramm entspricht dann der nderungsrate des Stromes.
* Anschlieend schieben wir eine kleinere Spule, die wir mit Induktionsspule bezeichnen, in den Hohlraum der ueren Spule hinein. Weil sich die Induktionsspule im sich ndernden magnetischen Feld er Feldspule befindet, wird in sie eine Spannung Uind induziert, die wir messen knnen. Rechnerisch msste sich folgender Wert ergeben:

Ergebnis:
Der gemessene Wert fr die Induktionsspannung stimmt mit dem berechneten Wert bestens berein.

Schlussfolgerung:
Auch durch die reine nderung der Flussdichte wird eine Spannung - wie durch das Faraday'sche Induktionsgesetze vorhergesagt - in die ansonsten ruhende Leiterschleife induziert. Dies lsst sich nicht durch Lorentzkrfte erklren.

mit
ist somit ein allgemeines Gesetz, aus dem die beiden in der Zusammenfassung genannten Spezialflle folgen:

Zusammengefasst:
Fr die Induktionsspannung gilt ...

  1. ... bei konstantbleibender magnetischer Flussdichte B und vernderlicher Flche A:
  2. Bei konstantbleibender Flche A und vernderlicher Flussdichte B:

Elektrische Wirbelfelder

Verbinden wir den Pluspol einer Spannungsquelle U ber einen Kupferdraht mit dessen Minuspol, so fliet deshalb ein Strom, wie ber die Lnge d des Drahtes die elektrische Feldstrke E=U/d die Elektronen mit der Kraft F=q*E von Minus nach Plus treibt:

Gehen wir aber, wie in der folgenden Abbildung dargestellt, von einem zu einem Ring geschlossenen, sich nicht bewegenden Kupferdraht aus, welcher sich in einem strker werdenden Magnetfeld befindet, so knnen wir experimentell einen Kreisstrom feststellen, welcher aufgrund der Induktionsspannung U_ind fliet.

Da sich der Kupferring nicht bewegt, knnen wir es nicht ber die Lorentzkraft erklren, dass sich die Elektronen im Draht in Bewegung setzen. Wir mssen also annehmen, dass das sich verndernde Magnetfeld ein ringfrmiges elektrisches Feld erzeugt, welches die Elektronen durch den Draht zieht. Da dieses Feld weder Anfang noch Ende hat, nennen wir es elektrisches Wirbelfeld. Seine Existenz knnen wir durch die sogenannte elektrodenlose Ringentladung prfen.

Zusammengefasst:

  • ndert ein magnetisches Feld seine Flussdichte, so entsteht ein ringfrmiges elektrisches Wirbelfeld.
  • Befindet sich ein Leiterring in dem Magnetfeld, so bewirkt das elektrische Wirbelfeld einen Strom, der im Ring kreisfrmig fliet.

Elektrodenlose Ringentladung durch elektrische Wirbelfelder

Experiment:
Die obige Schaltung knnen wir erst dann vollstndig nachvollziehen, wenn wir uns mit Schwingkreisen beschftigt haben. Fr diesen Abschnitt braucht man nur folgende Kenntnis:
ber die abgebildete Schaltung wird ein hochfrequenter Wechselstrom generiert, welcher ber die Spule fliet und dort ein sich beraus schnell nderndes Magnetfeld erzeugt.
Wenn die elektrischen Wirbelfelder tatschlich existieren, dann msste durch eine ausreichend starke zeitliche Magnetfeldnderung ein so starkes elektrisches Wirbelfeld entstehen, dass die fr einen Durchschlag notwendige elektrische Feldstrke berschritten wird und ein ringfrmiger "Blitz" - ohne Anfang und ohne Ende - entsteht.

Da die Mittel der Physik-Sammlung fr einen Blitz in "normaler Luft" nicht ausreichen, verwenden wir eine mit Neon gefllte Glaskugel mit einer etwas niedrigeren fr einen Durchschlag notwendigen elektrischen Feldstrke.

Ergebnis:
Im Experiment lsst sich die "Ringentladung" tatschlich beobachten. Dies ist ein wichtiges Indiz fr die Existenz der elektrischen Wirbelfelder.

Weitere Beobachtung:
Bei genauer Betrachtung sieht man, dass die Intensitt der Entladung mit dem Radius zunimmt. Das elektrische Feld scheint also in den ueren Bereichen strker zu sein. Lsst sich das mit unseren bisherigen Kenntnissen erklren?

Der Entladungsradius mit Radius r wird durch die Induktionsspannung

erzeugt, da die Flche eines Kreises
ist.
Das elektrische Wirbelfeld hat die Feldstrke
, wobei d hier die Strecke des Kreisumfangs
ist. Setzt man die Gren Uind und d in die Gleichung fr E ein, erhlt man

Aus der erhaltenen Formel lsst sich tatschlich ablesen:
Die Strke des elektrischen Wirbelfeldes nimmt linear mit dem Radius zu. Das erklrt weshalb die Ringentladung mit grerem Radius strker ist.

Zusammengefasst:

  • ndert sich ein homogenes magnetisches Feld, so ist die Feldstrke des entstehenden elektrischen Wirbelfeldes proportional zum Radius.

Anwendungen elektrischer Wirbelfelder

Elektrische Wirbelfelder haben zahlreiche Anwendungen. Zwei Beispiele:

  • Induktionsherde: Durch sich stark ndernde Magnetfelder wird im Boden der Kochtopfer ein starker Wirbelstrom induziert. Elektrische Energie wird wegen des Stroms dort in Wrme umgewandelt, wo sie gebraucht wird: Im Topf!
  • Transformatoren: Eine Primrspule erzeugt ein zeitlich schankendes Magnetfeld. Durch das elektrische Wirbelfeld wird in einer Sekujndrpule eine Spannung induziert, dessen Gre von der Anzahl der Windungen abhngt.

Das Lenz'sche Gesetz

Wie in der Skizze dargestellt, wird einem an einem Faden aufgehngten Aluminiumring ein Stabmagnet genhert. Dabei beobachten wir, dass der Aluring, ohne dass er durch den Magneten berhrt wird, nach hinten wegschwingt.

Erklrung:
Durch das Annhern des Magneten vergrert sich der magnetische Fluss durch den Ring. Dadurch wird eine Spannung

im Ring induziert, welche wegen des geringen elektrischen Widerstand R des Rings einen relativ groen Induktionsstrom
verursacht.
Der Ring wird dadurch zum stromdurchflossenen Leiter und durch den Stromfluss wird ein magnetisches Feld erzeugt. Offensichtlich ist dieses Magnetfeld des Rings dem Feld des Stabmagneten entgegen gerichtet. Dadurch stt sich der Ring ab und schwingt nach hinten weg.
Der Strom ist also so gepolt, dass sein Magnetfeld dem durch die Annherung zunehmenden Stabmagnetfeld entgegenwirkt. Heinrich Lenz formulierte 1834 dazu folgendes nach ihm benanntes Gesetz:

Zusammengefasst:

  • Lenz'sche Regel: Die Induktionsspannung ist so gepolt, dass sie durch ihren Strom ihrer Ursache entgegenwirken kann.

Der Zusammenhang zwischen Lenz'schem Gesetz & Energieerhalungssatz

Bei dem rechts gezeichneten Experiment handelt es sich um den selben Aufbau wie in Nr. 77:
Eine Metallstange rollt durch ein Magnetfeld, wodurch die Spannung

induziert wird.
Aufgrund dieser Spannung fliet der Strom I durch die Lampe, welche mit der Leistung P= U*I leuchtet. Nach der Zeit t wurde also folgende elektrische Arbeit verrichtet:

Aber: Wo kommt diese Energie her? Wird sie tatschlich aus dem Nichts erzeugt???
Der Strom fliet auch durch die vollende Metallstange. Damit erfhrt sie die eingezeichnete Kraft

entgegen der Bewegungsrichtung der Stange. Die mechanische Arbeit, die verrichtet werden muss, um die Geschwindigkeit v_s aufrecht zu erhalten, lsst sich ber die Definitionsgleichung der Arbeit berechnen:

Mit der obigen Formel fr die Kraft F und dem Weg-Zeit-Gesetz s=v*t folgt daraus durch Einsetzen:

Ein Vergleich der Formel fr die mechanisch verrichtete Arbeit mit der oben notierten Formel fr die elektrische Arbeit zeigt, dass die aufgrund der Induktion verrichtete elektrische Arbeit der Arbeit entspricht, die am Stab mechanisch verrichtet werden muss, um die Bewegung aufrecht zu erhalten. Es handelt sich also nur um einen Umwandlungsprozess von mechanischer Energie in elektrische Energie.
Hiermit begrndet sich auch die Lenz'sche Regel:
"Der induzierte Strom verursacht eine Kraft, die seiner Ursache (der Bewegung des Stabs durch das magnetische Feld) entgegen wirkt." Diese Regel folgt schlicht aus dem Energieerhaltungssatz bei Induktionsvorgngen.

Zusammengefasst:

  • Die Lenz'sche Regel ist eine Folge aus dem Energieerhaltungssatz.

Wirbelstrme

Experiment:
Wir lassen eine an einer Drehachse befestigte Aluminiumplatte pendeln und schalten nach kurzer Zeit ein starkes, lokal begrenztes Magnetfeld hinzu, durch welches sich die Platte hindurch bewegt.

Wir beobachten, dass durch das Hinzuschalten des Feldes die Platte stark gebremst wird. Wie lsst sich das erklren?

Mit der Aluminiumplatte bewegen sich auch die Elektronen mit der Geschwindigkeit v durch das Magnetfeld. Dadurch erfahren sie die nach oben gerichtete Lorentzkraft F_L, wodurch sich die Leitungselektronen innerhalb des Magnetfeldes nach oben und in den nicht vom Feld durchdrungenen Teil der Platte zurck bewegen. Die auf diese Weise entstehenden Strme nennt man Wirbelstrme.
Nach der Lenzschen Regel ist der so induzierte Strom so gerichtet, dass sein Magnetfeld seiner Ursache, der Bewegung der Platte, entgegen wirkt. Daher bremst die Platte im Feld stark ab.

Wirbelstrombremsen finden beispielsweise bei Hochgeschwindigkeitszgen und zum Abbremsen von Freefall-Towern Anwendung.

Zusammengefasst:

  • Als Wirbelstrom bezeichnet man einen in sich geschlossenen Strom innerhalb eines Metalls.
  • Wirbelstrme knnen verursacht werden, indem man eine Metallscheibe durch ein Magnetfeld bewegt. Sie entstehen aber auch durch magnetische Wechselfelder.