PhysikSkript

Magnete und Magnetfelder

Magnete und magnetische Krfte

Experiment:
Ein starker, scheibenfrmiger Magnet wird auf eine glatte Tischoberflche gelegt. Dabei beobachtet man, dass egal wie rum man ihn auf den Tisch dreht, sich immer wieder die selbe Seite in Richtung Norden und die entgegengesetze Seite in Richtung Sden ausrichtet.

Schlussfolgerung und Definition:
Ein Magnet hat zwei Pole. Die Seite des Magneten, die sich immer in Richtung Norden dreht, nennen wir Nordpol des Magneten, die entgegengesetze Seite Sdpol des Magneten. Der Nordpol ist meist mit rot, der Sdpol meist mit grn markiert.

Experiment:
Wir halten die verschiedenen Pole eines Magneten aneinander.

Ergebnis:
Analog zu den Ladungen ziehen sich ungleichnamige Pole an, gleichnamige Pole stoen sich ab.

Zusammengefasst:

  • Von Magneten gehen anziehende und abstoende Krfte aus.
  • Magnete bestehen aus zwei Polen: Sie werden Nordpol und Sdpol genannt.
  • Ungleichnamige Pole ziehen sich an, gleichnamige stoen sich ab.

Ferromagnetische Stoffe

Neben den Krften zwischen Magneten, ziehen Magneten auch bestimmte andere Stoffe an. Diese sind Eisen(Fe), Kobalt(Co) und Nickel(Ni). Man nennt diese Stoffe deshalb ferromagnetische Stoffe. Andere Stoffe werden von Magneten nicht angezogen.

"Ferro" kommt von der lateinischen Bezeichnung "Ferrum" fr Eisen. Ferromagnetische Stoffe haben also gleiche/hnliche Eigenschaften wie Eisen. Nickel und Kobalt sind ebenso magnetisierbar - genau wie Eisen.

Diese Stoffe lassen sich demnach auch magnetisieren, indem man sie immer in die selbe Richtung an einem Magneten vorbei reibt. Dies wird in der folgenden Abbildung am Beispiel einer Eisennadel dargestellt:

Allgemein gilt: Krper, die von Magneten angezogen werden, sind auch selbst magnetisierbar.

Zusammengefasst:

  • Nicht auf alle Stoffe, sondern nur auf ferromagnetische Stoffe lassen sich magnetische Krfte direkt beobachten.
  • Ferromagnetische Stoffe sind selbst auch magnetisierbar.

Separation der Pole eines Magneten

Exp.: Wir versuchen jetzt den Nordpol eines Magneten von seinem Sdpol zu trennen. Dazu nehmen wir eine magnetisierte Eisennadel aus 62. und teilen sie mit einer Zange in zwei Teile.

Ergebnis: Beide Teile haben nach wie vor Nord- und Sdpol. Der Vorgang lsst sich beliebig oft wiederholen.

Wie lassen sich diese Effekte erklren? -> Modell Elementarmagnete

Zusammengefasst:

  • Es gibt keine magnetischen Monopole. Ein Magnet hat immer beides: Nord- UND Sdpol.

64. Modell der Elementarmagnete

Man stellt sich vor, dass ferromagnetische Stoffe aus vielen, sehr kleinen und nicht weiter teilbaren Magneten, den sogenannten Elementarmagneten, besteht. Mit dieser Vorstellung lassen sich alle Effekte der Magnetostatik erklren:

In nichtmagnetisierten Stoffen sind die Elementarmagnete ungeordnet und heben sich in ihrer magneteischen Wirkung auf. Der ferromagnetische Krper als Ganzes bildet damit keine Pole aus.
Streicht man den ferromagnetischen Stoff entlang einem Magneten, so richten sich die Elementarmagnete an den Polehn des Magneten aus und richten sich zum grten Teil aus.Dadurch verstrken die Elementarmagnete ihre Wirkung und der ferromagnetische Stoff bildet selbst Pole aus.
In der Abbildung richten sich die Elementarmagnete nach dem von links angenherten Sdpol aus. Dadurch wird der ferromagnetische Stoff selbst zum Magneten.

Teilt man den magnetisierten Stoff, bleibt die Ausrichtung der Elementarmagnete bestehen. Beide Pole sind, wie in der unteren Abbildung dargestellt, in beiden Bruchstcken vorhanden.

Durch Erhitzung oder starke mechanische Schlge kann die Ordnung der Elementarmagnete wieder zerstrt werden. Der ferromagnetische Stoff hat dann seine Magnetisierung verloren. Er ist entmagnetisiert.
Lsst sich ein Krper leicht magnetisieren und wieder entmagnetisieren, bzw. lassen seine Elementarmagneten leicht ausrichten, so bezeichnet man diesen Stoff als magnetisch weich.

Wichtig ist: Wegen der Unteilbarkeit der Elementarmagnete gibt es keine magnetischen Monopole. Hierdurch unterscheiden sich Magnete von geladenen Krpern: Magnete haben immer zugleich einen Nord- wie einen Sdpol.

Zusammengefasst:

  • Das Modell der Elementarmagnete besagt, dass Magnete aus sehr vielen kleinen Elementarmagneten bestehen, die sich nicht weiter teilen lassen.
  • Alle bisher beobachteten Effekte lassen sich auf der Grundlage dieses Modells erklren.

Das magnetische Feld

hnlich wei beim elektrischen Feld geht man davon aus, dass die Krfte zwischen Magneten durch magnetische Felder vermittelt werden.
Vorstellen kann man sich das so: Wenn man einen Nagel in die Nhe eines Magenten bringt, geht die Kraft, die den Nagel anzieht vom Magneten aus. bermittelt wird die Kraft durch sogenannten Feldlinien, die wir uns als Verstndinishilfe vorstellen.
Durch Eisenfeilspne lassen sich die Feldlinien sichtbar machen. Deutlich erkennbar werden die unten gezeichneten Muster.

Das Magnetfeld eines Stabmagneten:

Das Magnetfeld eines Stabmagneten bildet sich wie oben dargestellt aus. Die Richtung des Magnetfeldes lsst sich mit einem kleinen Kompass bestimmen.Die Pfeilspitze wird zum Sdpol des Magneten zeigen. Der Kompass wird sich so tangential zu den Feldlinien ausrichten.

Wie sieht das Magnetfeld eines Hufeisenmagneten aus ?


Das Magnetfeld eines Hufeisenmagneten unterteilt sich in 2 Bereiche. Der Teil innerhalb der beiden "Magnetkltzchen" ist das Magnetfeld homogen, auerhalb inhomogen:

Zusammengefasst:

  • hnlich wie bei Ladungen geht man auch bei einem Magneten davon aus, dass er von einem magnetischen Feld umgeben ist.
  • Das magnetische Feld ist Mittler der magnetischen Krfte.
  • Die magnetischen Feldlinien verlaufen vom Nordpol zum Sdpol.
  • Liegen die Feldlinien parallel, so spricht man von einem homogenen Magnetfeld.

Magnetfelder durch Strme

Whrend einer Physik-Vorlesung bemerkte der dnische Professor Hans-Christian Oerstedt im Jahre 1820, dass sich zufllig herumstehende Kompassnadeln in der Nhe eines stromdurchflossenen Leiters abgelenkt wurden. So entdeckte er, dass durch Stromfluss um einen Leiter herum ein magnetisches Feld entsteht.

Experiment:
Wir lassen durch einen Draht, der senkrecht zu einer horizontalen Ebene liegt, einen Strom derart flieen, dass die negativen Ladungstrger nach oben flieen. Anschlieend streuen wir auf die Ebene Eisenfeilspne zum Nachweis des magnetischen Feldes. Ergebnis:
Die Eisenfeilspne bilden ringfrmige Muster. Wie in der unteren Abbildung dargestellt, verluft das Magnetfeld offenbar kreisfrmig um den Draht. Ein solches Feld nennen wir magnetisches Wirbelfeld.
Die Richtung des Wirbelfeldes stellen wir mit Kompassnadeln fest: Es verluft im Uhrzeigersinn. Dreht man die Stromrichtung um, so verluft es entgegen des Uhrzeigersinns.


Die Linke-Hand-Regel:
Es ist ganz einfach mglich die Richtung dieses elektrischen Feldes zu bestimmen.
Man nehme die linke Hand und strecke den Daumen in Richtung der Elektronenflussrichtung. Die anderen Finger sollten einen Halbkreis bilden. In Richtung der Fingerspitzen entspricht nun der Richtung der magnetischen Feldlinien.

ACHTUNG: Besonderen Augenmerk muss man auf die technische Stromrichtung haben, denn diese ist der Flussrichtung der Ladungstrger entgegengesetzt.
Dies ist einfach gesichtlich bedingt, als man die Stromrichtung festsetzte, dachte man noch es wren die positiven Ladungstrger, die durch den Leiter flieen. Daher ist die technische Stromrichtung VOM PLUS- ZUM MINUS-POL. Das magnetische Wirbelfeld entsteht aber durch die flieenden Elektronen und daher muss die Flussrichtung der Ladungstrger VOM MINUS- ZUM PLUS-POL beachtet werden. Der Linke Hand Regel gilt also nur, wenn die Flussrichtung der Ladungstrger angegeben ist, oder man muss die Stromrichtung ndern.

Zusammengefasst:

  • Ein stromdurchflossener Draht verursacht ein magnetisches Wirbelfeld.

Das Magnetfeld einer stromdurchflossenen Spule

Das Magnetfeld einer stromdurchflossenen Spule entspricht den berlagerten Feldern der Windungen des gewickelten Drahtes. Es hnelt uerlich dem Feld eines Stabmagneten und bildet einen Nordpol dort aus, wo die Feldlinien aus der Spule heraustreten und einen Sdpol dort, wo die Feldlinien in die Spule eintreten. Innerhalb der Spule verlaufen die Feldlinien parallel.


Bereits Andre-Marie Ampere ging davon aus, dass die Elementarmagnete in ferromagnetischen Stoffen nichts anderes sind als Kreisstrme, die widerstandsfrei flieen - und damit auch nie aufhren zu flieen.
Tatschlich verursachen die Bahnbewegungen der Elektronen um die Atomkerne Magnetfelder. Die Elementarmagnete "entstehen" aber vor allem durch die "Rotation" der Elektronen um die eigene Achse.

Zusammengefasst:

  • Das Magnetfeld einer stromdurchflossenen Spule hnelt uerlich dem Magnetfeld eines Stabmagneten.
  • Im Innern einer lang-gestreckten Spule ist das Magnetfeld homogen.

Die Lorentzkraft

Die Pole eines Magneten ziehen keine Ladungen an, denn ansonsten wren sie geladen. Doch beeinflussen magnetische Felder berhaupt Ladungen?
Um diese Frage zu beantworten, untersuchen wir mithilfe einer "Elektronenkanone" die Flugbahn von Elektronen, wenn dir die Elektronenrhre mit einem Magnetfeld durchsetzen.

Experiment:
Mithilfe einer "Elektronenkanone" kann man Elektronenstrahlen erzeugen und deren Verlauf beobachten. In der Abbildung ist das Ergebnis dargestellt; Das Magnetfeld verluft in der Abbildung in die Zeichenebene hinein.

Ergebnis:
Das Magnetfeld bewirkt auf bewegte Ladung eine Kraft, die sowohl senkrecht zur Bewegungsrichtung v der Elektronen, als auch senkrecht zu den Magnetfeldlinien wirkt. Diese Kraft wird Lorentzkraft genannt und bewirkt die Ablenkung des Elektronenstrahls im Magnetfeld.

Zusammengefasst:

  • Schickt man einen Elektronenstrahl durch ein Magnetfeld, so wird er senkrecht zur Bewegungsrichtung und senkrecht zum magnetischen Feld abgelenkt.
  • Die ablenkende Kraft nennt man Lorentzkraft.

Kraft auf stromdurchflossene Leiter

Magnetische Felder bewirken auf sich in einem Elektronenstrahl bewegende Elektronen eine Kraft, die wir Lorentzkraft genannt haben. Lassen sich hnliche Krfte auch bei bewegten Ladungen whrend des Stromflusses in Stromleitungen beobachten?

Experiment:
Wir lassen durch ein leicht biegbares Metallband aus einem Kupferdrahtgeflecht einen Strom flieen und fhren diese stromdurchflossene Leitung in ein Magnetfeld.

Beobachtung und Ergebnis:

Man beobachtet,wie sich der Leiter senkrecht zum Magnetfeld und senkrecht zu der Bewegungsrichtung der Elektronen auslenkt. Offenbar erfahren die flieenden Elektronen im Leiter die Lorentzkraft und bertragen diese Kraft auf den Leiter.

Mithilfe von Magnetfeldern lassen sich also auf einfache Weise durch elektrische Strme mechanische Krfte verursachen. Man nutzt diesen Effekt bei Elektromotoren, die auf diesem Prinzip basieren.

Zusammengefasst:

  • Lorentzkrfte wirken auch dann, wenn sich Elektronen innerhalb von elektrischen Leitern durch Magnetfelder bewegen.
  • Die zu beobachtende Kraft wirkt auch hier senkrecht zur Bewegungsrichtung der Elektronen und senkrecht zum Magnetfeld.

Die magnetische Flussdichte - ein Ma fr die Strke magnetischer Felder

Wovon hngt die Gre der Kraft F auf einem stromdurchflossenen Leiter im Magnetfeld ab?

Sicher von der Stromstrke und der Leiterlnge im magnetichen Feld. Aber sicher auch von der "Strke" des Magnetfeldes, die sich daher mithilfe dieser Kraft definieren lsst.

Experiment:
Ein rechteckiger, stromdurchflossener Drahtrahmen befindet sich im Magnetfeld (vgl. Abbildung). Da sich die Krfte F1 und F2 ausgleichen, kann nur F gemessen werden.

Ergebnis:
Die Kraft ist proportional zum Strom I und zur Drahtlnge s:

Das heit, der Ausdruck
ist so lange konstant, wie wir die Strke des magnetischen Feldes konstant halten. Damit definieren wir als Ma fr die Strke des Magnetfeldes die Gre B:

Die Einheit fr B nennt sich Tesla. Ihre Definition ergibt sich aus der obigen Gleichung fr B:

B wird die magnetische Flussdichte genannt. Sie lsst sich mit sogennanten Hallsonden leicht messen.

Schlussfolgerung: Die Kraft auf einen Leiter der Lnge s, welcher sich im Magnetfeld mit der Flussdichte B befindet und durch den der Strom I fliet, betrgt:

wenn das Magnetfeld senkrecht zum Leiter verluft.

Zusammengefasst:

  • Die magnetische Flussdichte B ist ein Ma fr die Strke eines Magnetfelds.
  • Befindet sich ein Leiter mit der Lnge s senkrecht zu einem Magnetfeld der Flussdichte B und wird er vom Strom I durchflossen, so wirkt senkrecht zum Magnetfeld eine Kraft mit dem Betrag

Die Lorentzkraft berechnen

Der Strom I durch einen Leiter entsteht durch die durch den Leiter flieenden Elektronen. Die Kraft

auf diesen Leiter im Magnetfeld setzt sich also aus der Summe der Krfte auf die einzelnen flieenden Elektronen zusammen. Wir werden diese Formel jetzt nutzen, um eine Formel fr die Kraft auf ein einzelnes Elektron, welches sich mit der Geschwindigkeit v_e durch ein Magnetfeld bewegt, herzuleiten. Dazu betrachten wir zunchst die Gesamtheit der Elektronen, die aufgrund ihrer Bewegung mit der Geschwindigkeit v_e den Strom durch den Draht verursachen:

Bewegt sich ein Elektron die Strecke s entlang des Leiters und bentigt dazu die Zeit t, so ist seine Geschwindigkeit

Angenommen, der Leiter hat auf dieser Strecke N sich bewegende Elektronen. Dann bewegen sich durch eine Querschnittsflche des Leiters in dieser Zeit t insgesamt N Elektronen mit der Gesamtladung

, wobei
die Elementarladung ist. Der Strom I lsst sich aus diesem Grund wie folgt schreiben:
Die N Elektronen bewirken somit die Kraft
Die Lorentzkraft ist nun die Kraft auf ein einzelnes Elektron. Wir mssen zu ihrer Berechnung die Formel fr die Kraft auf N Elektronen durch die Anzahl N teilen:

Allgemein gilt: Bewegt sich ein Krper mit der Ladung q und der Geschwindigkeit v durch ein Magnetfeld, so wirkt auf ihn die Kraft

Zusammengefasst:

  • Ein Krper der Ladung q bewegt sich mit der Geschwindigkeit v senkrecht zu einem Magnetfeld der Flussdichte B. Dann wirkt senkrecht zur Bewegungsrichtung und senkrecht zum Feld die Lorentzkraft
    auf das Teilchen.

Das Magnetfeld einer lang gestreckten Spule

Die Strke des Magnetfeldes im Innern einer lang-gestreckten Spule hngt vermutlich ab von:

  • der Stromstrke I
  • der Windungsdichte N/l (Anzahl Windungen pro Meter)

Diese Vermutungen lassen sich experimentell durch Spulen verschiedener Bauart besttigen. Es lsst sich auch experimentell darstellen, dass B im Innern der Spule nicht vom Spulendurchmesser oder von der Lnge l der Spule abhngt, wenn obige Gren konstant bleiben.

Vermutung ber den quantitativen Zusammenhang:

mit der Proportionalittskonstanten

==> Exp.: Die Formel wird durch Messungen an verschiedenen Spulen besttigt. Die Proportionalisttskonstante kann aus den Messwerten bestimmt werden:

Man nennt sie magnetische Feldkonstante.

==> Exp.: Steckt man in die Spule einen ferromagnetischen Stoff, so verstrkt sich die Flussdichte um einen Faktor my_r. my_r ist eine Materialkonstante und wird Permeabilittszahl gennant.
Mit ihr gilt fr die magnetische Flussdichte im Innern einer lang gestreckten Spulen:

Zusammengefasst:

  • Fliet der Strom I durch eine lang gestreckte Spule der Lnge l und mit N Windungen, so lsst sich die magnetische Flussdichte im Innern der Spule berechnen zu
  • Die Konstante
    ist eine Naturkonstante und heit magnetische Feldkonstante.
  • Schiebt man einen ferromagnetischen Stoff in die Spule, so verstrkt sich das Magnetfeld in dessen Innern um einen materialabhngigen Faktor my_r. Dieser wird Permeabilittszahl genannt.

Bestimmung der Masse von Elektronen

Bisher haben wir in diesem Skript die Kenntnis von der Masse und der Ladung der Elektronen vorrausgesetzt. In diesem Abschnitt wird gezeigt, wie die Elektronenmasse "gemessen" werden kann. Die Massenbestimmung ist mit einem sogenannten Fadenstrahlrohr mglich:

72.1Aufbau des Fadenstrahlrohrs

Das Fadenstrahlrohr besteht aus einem kugelfrmigen Glaskolben, in dessem Inneren eine Elektronenrhre (="Elektronenkanone") befestigt ist. Der Kolben wird von einem homogenen Magnetfeld durchsetzt, welches durch ein so genanntes Helmholtz-Spulenpaar erzeugt wird.

72.2 Geltende Zusammenhnge

Schaltet man die Elektronenrhre an, so sieht man durch fluoreszierende Gase in dem Glaskolben, dass die Elektronen auf einer Kreisbahn fliegen. Den Radius der Bahn r kann an einer Skala abgelesen werden.

Doch wie kommt diese Kreisbahn zustande?

  • Durch die Beschleunigungsspannung UB werden die Elektronen mit der Energie
    beschleunigt, wodurch diese Energie in kinetische Energie umgewandelt wird.
  • Im Magnetfeld wirkt die Lorentzkraft stehts senkrecht zum Feld und zur Bewegungsrichtung des Elektrons:
  • FL zwingt die Elektronen auf eine Kreisbahn. Sie entspricht also der Zentripetalkraft einer Kreisbewegung. Folgende Formel fr Zentripetalkrfte kennen wir aus der Mittelstufe:

72.3 Bestimmung der Masse me eines Elektrons

Im nchsten Abschnitt wird die Elektronenladung e bestimmt. Sie betrgt:

Messbare Gren bei diesem Experiment sind: r, UB und B
Nun entspricht die Zentripetalkraft der Lorentzkraft, woraus folgt:

Wir knnen die zugehrigen Gleichungen direkt einsetzen und erhalten

Die Geschwindigkeit kann man wegkrzen:
Um me zu bestimmen, setzen wir in diese Gleichung die in vorherigen Abschnitten hergeleitete Formel fr die Geschwindigkeit der mit UB beschleunigten Elektronen

ein...

Quadrieren und krzen ergibt

woraus durch Umstellen fr me folgt:

Setzen wir die gemessenen Gren ein, erhalten wir die Elektronenmasse. Literaturwert:

Zusammengefasst:

  • Bewegen sich mit der Beschleunigungsspannung UB beschleunigte Elektronen im vom Magnetfeld der Flussdichte B durchdrungenen Fadenstrahlrohr auf einer Bahn mit Radius r, so lsst sich das Verhltnis aus Elektronenmasse zu Elektronenladung bestimmen

Der Massenspektrograph

Mit einem Massenspektrograph werden die Massen von Moleklen und Atomen, beispielsweise zur Analyse von Lebensmitteln, bestimmt. Er besteht aus einem Wien'schen Geschwindigkeitsfilter, welcher nur Teilchen einer bestimmten Geschwindigkeit hindurch lsst, einem magnetischen Ablenkfeld und einer Fotoplatte.

Im Folgenden gehen wir jetzt auf die Bestandteile genauer ein und nehmen dabei Bezug auf die obige Abbildung.

74.1 Prinzip des magnetischen Ablenkfeldes

Durch Blende 2 gelangen die unterschiedlich massereichen Ionen mit gleicher Geschwindigkeit v in das magnetische Ablenkfeld. Hier entspricht die Lorentzkraft der Zentripetalkraft der Kreisbewegung der Teilchen mit Radius r:

Lst man nach m auf, erhlt man fr die Masse der Teilchen:

Die Strke des B-Feldes lsst sich mit Hall-Sonden messen, der Radius r kann man ber die Einschlagstelle auf der Fotoplatte bestimmen, die Geschwindigkeit v kann ber den Geschwindigkeitsfilter eingestellt werden und q kann als Vielfaches der Elementarladung durch logische Schlsse ermittelt werden. Damit sind alle Gren zur Brechnung von m bekannt.
Voraussetzung war aber, dass alle Ionen mit der gleichen Geschwindigkeit die Blende 2 passieren. Dies stellt man mit dem sogenannten Wien'schen Geschwindigkeitsfilter sicher.

74.2 Der Wien'sche Geschwindigkeitsfilter

Der Geschwindigkeitsfilter besteht aus einem senkrecht gekreuzten, magnetischen und elektrischen Feld. Auf die positiv geladenen Ionen wirken beim Durchfliegen des Filters zwei Krfte: Eine geschwindigkeitsunabhngige Kraft durch das elektrische Feld E, die in der obigen Abbildung nach unten wirkt:

Und eine geschwindigkeitsabhngige Kraft durch das magnetische Feld B, die in der Abbildung nach oben wirkt:
Den Geschwindigkeitsfilter knnen aufgrund der Blenden nur jene Teilchen passieren, die genau geradeaus fliegen. Das ist aber nur der Fall, wenn sich die nach oben wirkende Kraft FL und die nach unten wirkende Kraft FE gerade aufheben:

Fr v folgt daraus:

Nur Teilchen mit dieser Geschwindigkeit werden durchgelassen. Bleibt B konstant, kann man wegen E = U/d bestimmte Geschwindigkeiten durch anlegen der passenden Spannung U auswhlen:

Zusammengefasst:

  • Ist die Ladung q von Teilchen unbekannter Masse bestimmen, so lsst sich die Masse ber ein Massenspektrographen berechnen
  • Der Wien'sche Geschwindigkeitsfilter besteht aus einem gekreuzten magnetischen Feld B und elektrischem Feld E. Er lsst nur die Teilchen durch, die die folgende Geschwindigkeit besitzen:

Der Halleffekt

75.1
Der Hall-Effekt kann dazu genutzt werden, auf einfache Weise die magnetische Flussdichte an Magnetfeldern zu messen. Er lsst sich anhand des stark vergrert dargestellten Metallblttchens erklren:

Es wird, wie dargestellt, von Elektronen durchflossen. Senkrecht zum Elektronenfluss wird es von einem Magnetfeld durchsetzt. Bewegen sich die Elektronen mit der Geschwindigkeit ve nach rechts, so erfahren sie die nach unten gerichtete Lorentzkraft FL. Dadurch sammeln sie sich an der unteren Seite des Blttchens. Dort gibt es einen Elektronenberschuss, whrend an der Oberseite ein Elektronenmangel entsteht. Die so entstandene Spannung UH lsst sich messen.

Wir werden fr diese Spannung jetzt eine Formel herleiten:
Fasst man die obere und die untere Flche Blttchen als Kondensatorplatten auf, kann man daraus die Feldstrke

berechnen, die durch die positiven Ladungen auf der oberen Flche und durch die negativen Ladungen auf der unteren Flche erzeugt wird. Diese bewirkt aber eine nach oben gerichtete elektrische Kraft
auf die Elektronen. Wenn FE so gro geworden ist, dass sie FL ausgleicht, steigt die Spannung UH nicht weiter an. Sie hat ihren Maximalwert erreicht. Es gilt dann:

woraus durch Einsetzen folgt

Durch Umstellen nach UH erhalten wir schlielich die Formel fr unsere Hallspannung:

Bei einer Hall-Sonde nimmt man ein Metall mit bekannter Driftgeschwindigkeit ve und errechnet mithilfe der gemessenen Hallspannung die magnetische Flussdichte:

Bei bekanntem B-Feld lsst sich umgekehrt die Driftgeschwindigkeit der Elektronen ve berechnen.

75.2 Die Hall-Spannung in Abhngigkeit zur Dichte der Leitungselektronen

Wir betrachten nun das eingezeichnetet Volumen V des Leiterblttchens. N sei die Anzahl der Leitungselektronen in diesem Volumen. Mit der Driftgeschwindigkeit der Elektronen

lsst sich der Strom I dann wie folgt ausdrcken:

Die Anzahldichte der Leitungselektronen ist als Anzahl Elektronen pro Volumen definiert:

Diesen Ausdruck fr N knnen wir in die obige Formel fr die Stromstrke einsetzen.

Daraus folgt fr die Driftgeschwindigkeit der Elektronen

Setzen wir diese Formel in die Hallspannung ein, erhalten wir:

Dies ist die Formel der Hallspannung in Abhngigkeit zur Dichte der Leitungselektronen. Mit ihr lsst sich die Anzahl der Elektronen pro Volumen durch Umstellen bestimmen:

Durch Einsetzen der Elektronenzahldichte in die obige Formel fr die Driftgeschwindigkeit knnen wir ausrechnen, mit welcher Geschwindigkeit sich die Elektronen durch das Metall bewegen, wenn ein Strom fliet.

Zusammengefasst:

  • Mit dem Hall-Effekt wird die magnetfeldbedingte Ablenkung von Elektronen in einem Metall beschrieben.
  • Jenachdem, welche Gre bekannt ist, kann man mit dem Hall-Effekt...
    • ... die Driftgeschwindigkeit von Elektronen in Metallen messen.
    • ... die Elektronendichte in Metallen messen.
    • ... die magnetische Flussdichte B bestimmen.