PhysikSkript

Elektrischer Strom und Schaltungen

Potential zweier mit Polen verbundenen Drähte

Der Versuchsaufbau:

Wir verbinden zwei Drahtstücke mit unterschiedlichen Polen einer Spannungsquelle. Die beiden Spitzen der Drähte sind sich nahe, berühren sich jedoch nicht.
Es wäre ein normaler kleiner Stromkreislauf, wenn sich die Spitzen berühren würden.


Kurz nach dem Anschließen des linken Drahtes an den Minuspol werden vom negativen Pol negative Ladungen in den Draht gedrückt. Diese können jedoch am Ende des Drahtes nicht weiter. Weil sich Elektronen gegenseitig abstoßen, gibt es einen Rückstau bis zum Pol. Dieser Rückstau verhindert, dass weitere Elektronen auf den Draht gelangen.
Das Analoge passiert mit dem positiven Pol. Auf diese Weise werden die Drähte geladen und ein elektrisches Feld baut sich, wie in der Abbildung dargestellt, zwischen ihnen auf.


Als Potential definierten wir als die Spannung zwischen zwei Punkten zu einem (willkürlich festgelegten) Nullpunkt. Legen wir den Nullpunkt des Potentials auf den negativen Pol der Spannungsquelle. Würde man das Potential jetzt entlang des unterbrochenen Drahtes graphisch darstellen, erhielte man folgende Abbildung:


Das elektrische Feld stellt sich als Potentialgefälle zwischen den beiden unterschiedlich geladenen Drähten heraus. Diese Erfahrung haben wir auch schon bei Untersuchungen mit 2 Plattenkondensatoren gemacht.

Würden sich (hypothetisch) am Ende des negativen Drahtes Elektronen ablösen, so würden sie vom elektrischen Feld wegen der elektrischen Kräfte

beschleunigt und dabei "elektrische potentielle Energie" in kinetische Energie umwandeln.
Die elektrische potentielle Energie, die die Elektronen pro Ladung aufnehmen, entspricht dabei der Potentialdifferenz zwischen den Enden der Drähte.
Doch die elektrische Feldstärke E ist nicht groß genug, um Elektronen aus dem Draht zu lösen. Sie können daher in diesem Fall nicht von einem Pol zum anderen wandern. Die Situation ändert sich natürlich, wenn wir die beiden Drähte so dicht annähern, dass sie sich berühren...

Zusammengefasst:

  • Der Verlauf eines Potentials kann mithilfe von sogenannten Potentialdiagrammen dargestellt werden.
  • Das Potential im Potentialdiagramm ist am Pluspol maximal und fällt zum Minuspol hin ab.

Qualitative Bedeutung des elektrischen Stroms

Führt man nun die beiden Drahtenden aus dem vorherigen Abschnitt zusammen, so können die Elektronen direkt zum Pluspol fließen. Der negative Pol pumpt fortlaufend Elektronen nach, so dass ein Strom aus negativen Ladngen aufrecht erhalten werden kann:


Nachdem sich ein überall gleichmäßig fließender Strom eingestellt hat, werden die Elektronen überall gleichermaßen vom elektrischen Feld angetrieben.
Das Potentialgefälle erstreckt sich jetzt, wie oben dargestellt, gleichmäßig steigend über die gesamte Länge des Drahtes.
Die fließenden Elektronen stoßen auf ihren Weg vom Minus- zum Pluspol ständig mit Atomrümpfen zusammen. Dabei geben sie stoß für Stoß einen Teil ihrer Energie an die Atomrümpfe ab. Diese fangen an zu schwingen, der Draht erwärmt sich.
Fließt die Ladungsmenge q von Minus nach Plus, und besteht zwischen den Polen die Spannung U, so können wir die von der fließenden Ladung in Wärme umgewandelte Energie durch

berechnen.
Im Experiment erhöht sich die Temperatur des Drahtes so weit, dass er nach einer Weile amfängt zu glühen.

Zusammengefasst:

  • Die vom Miinuspol zum Pluspol fließenden Elektronen werden vom Potentialgefälle zwischen beiden Polen angetrieben.

Die elektrische Stromstärke

Wie könnte man bei den durch einen Draht fließenden Ladungen eine Stromstärke definieren? Ganz einfach:

Für die durchschnittliche Stromstärke im Zeitraum Δt gilt

Bei konstanter Stromstärke kann diese Formel immer verwendet werden. In manchen Fällen ist die Stromstärke starken Schwankungen unterworfen. Die momentane Stromstärke zu einem bestimmten Zeitpunkt entspricht der Ableitung der Ladung Q nach der Zeit. Für die momentane Stromstärke gilt also:

Die Einheit der Stromstärke ist das Ampere. Ein Ampere bedeutet, dass durch die Leitung pro Sekunde eine Ladung von einem Coulomb fließt:

Zusammengefasst:

  • Als elektrischen Strom bezeichnet man fließende Ladungsträger
  • Die elektrische Stromstärke ist definiert als Ladungen pro Zeit.

Begriff der elektrischen Leistung

Eine Lampe wird an eine Stromquelle mit U = 6V angeschlossen. Es wird ein Strom um 0,5 A gemessen! Wie viel elektrische Energie wird an der Lampe in Wärme- und Lichtenergie umgewandelt?

  • 0.5A bedeutes ist fließt in 1s die Ladung -0,5C von Minus nach Plus.
  • Damit verrichtet das Feld in jeder Sekunde die Arbeit W_E=U*Q, also
    in jeder Sekunde.
  • Fließt allgemein bei einer Spannung U der Strom I, so wird nach der Zeit Δt die Arbeit
    verrichtet.

Definition: Die Arbeit, die pro Zeit verrichtet wird, nennen wir Leistung

Die Leistung bekommt das Formelzeichen P, wodurch obige Definitionsgleichung folgende Gestalt bekommt:

Die Einheit der Leistung ist das Watt: 1Watt=1Joule/1Sekunde

Beispiel: Leistet eine Glühlampe 60 Watt, so bedeutet dies, dass sie in jeder Sekunde 60 Joule elektrische Energie in Wärme- und Lichtenergie umwandelt.

Zusammengefasst:

  • Leistung ist definiert als verrichtete Arbeit pro dafür benötigte Zeit.

Berechnung der Leistung

In diesem Abschnitt geht es darum, eine wirklich einfache Formel zur Berechnung der elektrischen Leistung zu entwickeln.
Aus dem vorhergehenden Abschnitt wissen wird: In einer Glühbirne wird in der Zeitspanne Δt die Arbeit

verrichtet. Wegen der Definition der Leistung
folgt schlicht und ergreifend

Wenn wir also die Leistung von irgendeinem technischen Gerät, zum Beispiel einer Lampe, eines Föns, Laptops,... bestimmen wollen, brauchen wir nur die an dem Gerät liegende Spannung U und den durch das Gerät fließenden Strom I zu messen. Schon wissen wir, wie viel elektrische Energie pro Sekunde das Gerät verschlingt.

Zusammengefasst:

  • Liegt die Spannung U an, und fließt der Strom I, so beträgt die elektrische Leistung

Die Einheit Kilowattstunden

Eine Kilowattstunde (kurz 1kWh) entspricht der Arbeit, die bei einer Leistung von 1000 Watt in einer Stunde verrichtet wird.

In Kraftwerken erzeugt man die elektrische Energie 1kWh aus 0,3kg Steinkohle; 1,5kg Braunkohle; 4m^3 Wasser bei 100m Höhenunterschied oder 0,05mg Uran 235 im Kernkraftwerk. Sie kostet dem Endverbraucher etwa 25,75 Cent.

Der elektrische Widerstand

Experiment:
Über einen dicken Draht und einer dahinter geschalteten Glühbirne fließt ein Strom, die Glühbirne leuchtet hell. Anschließend wird der dicke Draht durch einen dünnen ausgetauscht. Ergebnis: Die Glühbirne leuchtet dunkler... was ist passiert???

  • Der Strom aus Ladungen hat offenbar größere Schwierigkeiten, durch den dünnen Draht zu fließen als durch den dicken
  • In der Physik sagt man: Der elektrische Widerstand des dünnen Drahtes ist größer als der des dicken


Experiment:
Erhöht man die anliegende Spannung, so fließt auch mehr Strom durch den Draht.
Erklärung:
Aufgrund des dadurch stärkeren elektrischen Feldes im Leiter, werden die Elektronen mit einer größeren Kraft durch den Stromkreis gezogen

Wir stellen folgende Je-desto-Beziehungen fest:

  • Je größer der Strom bei gleichbleibender Spannung, desto kleiner der Widerstand
  • Je größer die Spannung bei gleichbleibendem Strom, desto größer der Widerstand

[[<<] Der Physiker Georg Simon Ohm formte aus den Zusammenhängen eine Formel, die heute als Ohm'sches Gesetz bezeichnet wird. Das Ohm'sche Gesetz lässt sich sehr gut experimentell prüfen. Es knüpft eine Verbindung zwischen dem Physikalischen Widerstand R, dem Strom I und der Spannung U:

Das Ohm'sche Gesetz:

Die Einheit des Widerstands wird mit dem griechischen Buchstaben Omega abgekürzt: Einheit:

Beispiele: Wir messen den Widerstand...
...einer Glühbirne: R = 0,5 Ohm
...eines Föhns: R = 34 Ohm
...eines Tauchsieders: R = 63 Ohm

Zusammengefasst:

  • Bei gleicher anliegender Spannung fließt durch unterschiedliche Leiter ein unterschiedlich starker Strom.
  • Der elektrische Widerstand ist ein Maß dafür, wie gut ein Leiter den Strom leitet.
  • Fließt bei einer anliegenden Spannung U der Strom I, berechnet sich der elektrische Widerstand zu

Reihenschaltung von Widerständen

Bei einer Reihenschaltung durchläuft der Strom nacheinander alle in Reihe geschalteten Widerstände.

Es gelten folgende Gesetze bei n in Reihe geschalteten Widerständen. Die Gesetze lassen sich entweder experimentell ermitteln oder logisch schlussfolgern.

R_ges wird auch "Ersatzwiderstand" genannt. Es wäre ein Widerstand der Größe R_ges notwendig, um die n in Reihe geschalteten Widerstände "zu ersetzen".

Durch jeden Widerstand fließt der selbe Strom.

Zusammengefasst:

  • Bei der Reihenschaltung von Widerständen gelten folgende Gesetze.

Parallelschaltung von Widerständen

Bei einer Parallelschaltung wird jeder parallel geschaltete Widerstand von einem anderen Strom durchflossen.

Experimentell oder durch logische Überlegungen findet man folgende
Gesetze für parallel geschaltete Widerstände:

Um eine Formel für den Ersatzwiderstand R_ges herzuleiten, müssen wir etwas ausholen:
Nach dem Ohmschen Gesetz gilt:

daraus folgt durch Umstellen für den Strom:
Verwenden wir diese Formel, um in der obigen Gleichung für I_ges die Ströme zu ersetzen, erhalten wir den Ausdruck

Teilen wir beidseitig durch U_ges, erhalten wir daraus die gesuchte Formel für den Ersatzwiderstand

Zusammengefasst:

  • Bei der Parallelschaltung von Widerständen gelten folgende Gesetze

Parallelschaltung von Kondensatoren

Für elektronische Schaltkreise sind neben den Widerständen auch Kondensatoren und deren Reihen- und Parallelschaltung interessant. In diesem und den nächsten Abschnitt geht es also um die Berechnung von Ersatzkapazitäten.

Liegt an n parallel geschalteten Kondensatoren die Spannung U an, so entspricht die Gesamtladung der Summe der Einzelladungen.

Weil durch die direkte Verbindung mit den Polen den Spannungsquelle an jedem der parallel geschalteten Kondensatoren die selbe Spannung anliegt, folgt mit Q=C*U

Wollte man diese Kondensatoren durch einen einzigen "Ersatzkondensator" ersetzen, so müsste dieser also die folgende Kapazität haben:

Hier kürzt sich das U raus und man erhält

Die Ersatzkapazität von parallel geschalteten Kondensatoren ist somit die Summe der Einzelkapazitäten.

Zusammengefasst:

  • Bei der Parallelschaltung von Kondensatoren gelten folgende Gesetze

Reihenschaltung von Kondensatoren - Betrachtung der Einzelspannungen

Die Reihenschaltung von Kondensatoren ist recht kompliziert. Insbesondere deshalb, weil wir zunächst untersuchen müssen, wie sich die anliegenden Gesamtspannung durch die Einzelspannungen am Kondensator zusammensetzt. Um das herauszufinden, müssen wir einen Umweg über den Begriff der Arbeit machen:

Betrachten wir zunächst die linke obere Abbildung.
Wenn wir eine Ladung q von der einen zur anderen Platte transportieren, müssen wir dazu die Arbeit

verrichten.
Die gleiche Arbeit muss wegen der gleich großen Spannung verrichtet werden, wenn bei der rechten Abbildung eine gleich große Ladung z.B. von der linken Platte des linken Kondensators über den mittleren Kondensator zur rechten Platte des rechten Kondensators transportiert wird. Für die einzelnen Transportarbeiten der drei Platten gilt demnach:

Betrachtet man die Spannung als Arbeit pro Ladung, so erhält man, nachdem wir beide Seiten der Gleichung durch q geteilt haben:

Damit haben wir herausgefunden, wie sich bei Kondensatoren die Gesamtspannung aus den Einzelspannungen zusammensetzt. Verallgemeinern wir die Gleichung auf n Kondensatoren, erhalten wir schließlich:

Reihenschaltung von Kondensatoren - Betrachtung der Ersatzkapazität}

Welche Kapazität müsste ein Ersatzkondensator haben, der n parallel geschaltete Kondesatoren mit den Kapazitäten C_1, C_2, ..., C_n ersetzt?
Um diese Frage beantworten zu können, müssen wir die auf den Kondensatoren sitzenden Ladungen betrachten.

Entzieht das Netzgerät der Platten ganz links Elektronen, so wird sie positiv (+Q) geladen. Aufgrund von Influenzen werden wegen der positiv geladenen linken Platte Elektronen auf die Platte gegenüber gezogen, wodurch sie die gleichgroße negative Ladung -Q trägt. Die Elektronen kommen von der linken Platte des Nachbarkondensators, welcher dann die gleiche positive Ladung +Q trägt wie die Platte ganz links. Und so weiter.
Auf diese Weise können wir folgern: Jeder Kondensator enthält die gleiche Ladungsmenge.
Wegen der sich unterscheidenden Kapazitäten sind damit aber die Teilspannungen an den Kondensatoren unterschiedlich:

Durch Einsetzen dieser Spannungen folgt für die Ersatzkapazität
die Gleichung
Und nach Kürzen der Ladung Q:

Bei einer Reihenschaltung von Kondesatoren entspricht der Kehrwert der Ersatzkapazität dem Kehrwert der Einzelkapazitäten.

Zusammengefasst:

  • Bei der Reihenschaltung von Kondensatoren gelten folgende Gesetze

Potential an Widerstand und Kondensator

Das Potential entspricht der Spannung relativ zu einem Bezugspunkt. In der Abbildung wurde der Bezugspunkt auf den negativen Pol der Spannungsquelle gelegt. Wie aus ihr hervor geht, können die Potentiale von Widerständen und Plattenkondensatoren durch einen ähnlichen Verlauf dargestellt bzw. modelliert werden.
Unterschied: Beim Widerstand fließen Ladungen. Damit verrichtet das el. Feld dort die Leistung P=U*I beim Kondensator nicht!

Zusammengefasst:

  • Das Potentialgefälle eines Widerstands und eines Plattenkondensators hat einen ähnlichen Verlauf.
  • Unterschied: Durch den Widerstand fließt ein Strom, durch den Kondensator nicht.

Entladevorgang bei Kondensatoren

58.1 Potential bei der Kondensatorenentladung

Kondensatorenenladungen spielen nahezuin jedem Bereich der Technik eine Rolle. Insbesondere dort, wo sie als Energiespeicher dienen. Wir entladen den Kondensator über einen Widerstand R. Das Potential hat dabei folgende Form:

Die Ladungen flißen dabei von der negativ geladenen Platte über den Widerstand zu positiv geladenen Platte. Dabei verliert der Kondensator an Ladung, womit seine Spannung sinkt. Damit fällt auch das Potential ab, was durch den Pfeil dargestellt wird.

58.2 Aufstellen einer Differentialgleichung

Da in der obigen Abbildung die Potentialdifferenz von links nach rechts beim Kondensator die gleiche ist, wie von rechts nach links beim Widerstand, gilt für die anliegenden Spannungen U_C = -U_R Wir bringen diese Gleichung nun auf eine Form, die nur von den Kenngrößen C und R, sowie von der Ladung Q(t) auf dem Kondensator und ihrer Änderungsrate Q'(t) abhängt. Dazu drücken wir zunächst die Spannungen U_C und U_R durch Q und seine Ableitung aus:

Setzen wir die so erhaltenen Terme in die Gleichung

ein, erhalten wir

Nach Umstellen der Gleichung folgt

Dies ist eine sogenannte Differentialgleichung (DGL). Q(t) ist eine Funktion, die angibt, wie viel Ladung nach der Zeit t noch auf dem Kondensator ist. Den Funktionsterm kennen wir noch nicht. Aber durch die DGL wissen wir: Eine mögliche Funktion Q(t) beschreibt den Entladevorgang nur dann richtig, wenn sie die DGL erfüllt - d.h. wenn man die Funktionsterme von Q(t) und Q'(t) in die linke Seite der DGL einsetzt, muss 0 rauskommen.

58.3:

Experiment:
Durch die unten dargestellte Schaltung wird mit dem computergestützten Messsystem CASSY der Strom- und Spannungsverlauf graphisch dargestellt.

Der Verlauf des Graphen lässt einen exponentiellen Abfall der Ladungsmenge Q(t) auf dem Kondensator vermuten. Wenn die Vermutung stimmt, erfüllt dieser Ansatz für die Ladungsfunktion die Differentialgleichung:

Die Ableitung Q'(t) wäre dann

Wir können diese Vermutung prüfen, indem wir den Funktionsterm von Q(t) und Q'(t) in die DGL für den Entladevorgeang einsetzen.

Teilen wir diese Gleichung durch den gemeinsamen Faktor

so erhalten wir die Gleichung

Umstellen nach Lambda ergibt

Schlussfolgerung:
Offenbar ist die DGL erfüllt, wenn wir

setzen. Hieraus folgen unmittelbar die Entladefunktionen für Kondensatorentladungen.

Zusammengefasst:

  • Die Differentialgleichung, die den Entladevorgang eines Kondensators beschreibt, ist
  • Die der Verlauf der Ladung Q auf dem Kondensator wird beschrieben durch die Funktion

58.4 Entladefunktionen von Kondensatoren
Ist die Zeit t seit Beginn des Entladevorgangs vergangen, kann man die Ladung, die sich zu diesem Zeitpunkt noch auf dem Kondensator befindet, über die folgende Funktion berechnen:

mit:
Q_0 : Anfangsladung zum Zeitpunkt t=0
R : Widerstand, über den der Strom fließt
C : Kapazität des Kondensators


Mit der Ladung fällt auch die Spannung

ab:

mit

U_0: Spannung am Kondensator zum Zeitpunkt t=0

Wegen I=Q'(t) erhalten wir für die Stromstärke am Kondensator

mit dem Anfangsstrom I_0 = U_0/R kurz nach Beginn der Entladung.
Der Strom ist negativ, weil die Ladung den Kondensator verlassen und Q(t) daher abnimmt.

Zusammengefasst:

  • Beim Entladevorgang eines Kondensators gilt für die Spannung am Kondensator und die Stromstärke

Berechnung von Halbwertszeiten

Als Halbwertszeit bezeichnet man die Zeit, die beim Entladevorgang eines Kondensators verstreicht, bis nur noch die Hälfte der Ladungen auf dem Kondensator sind. Mit der Funktion Q(t) ausgedrückt gilt für die Halbwertszeit t_h:

... nach Division durch Q_0 folgt:

Anwendung des Logarithmus Naturalis:

Und weil ln(1)=0 ist, folgt für die Halbwertszeit t_h:

Zusammengefasst:

  • Nach der Zeit
    halbiert sich die Ladungsmenge auf dem Kondensator.

Aufladevorgang eines Kondensators

Unser Ziel ist es jetzt - analog zum Entladevorgang - den Aufladevorgang eines Kondensators durch Funktionen für den zeitlichen Verlauf von Ladung, Spannung und Strom am Kondensator zu beschreiben. Dazu stellen wir erneut zunächst eine DGL auf, um anschließend eine Funktion zu finden, die die DGL löst.

Beim ungeladenen Kondensator ist das Potential der linken und der rechten Platte gleich groß, da U_C=0.
Wird der Kondensator, wie in der Skizze unten dargestellt, über einen Widerstand R geladen, so erhöht sich das Potential der in der Abbildung rechten Platte und gleicht sich nach und nach dem Potential der Spannungsquelle U_0 an.

Die jeweils anliegende Spannung entspricht nun der Potentialdifferenz. Aus der Skizze folgt somit die Gleichung

Wir ersetzen hier die Kondensatorspannung

sowie die Spannung am Widerstand

und erhalten:

Division durch R und Umstellen liefert schließlich die Differentialgleichung (DGL):

Wir werden jetzt versuchen, eine Funktion für Q(t) zu finden, welche die DGL löst.


60.1: Experiment: Aufladen eines Kondensators
Um einen Ansatz für die Ladungsfunktion Q(t) zu finden, laden wir den Kondensator experimentell, wie in der folgenden Schaltskizze gezeigt, auf.

Wie messen die Spannung U_C und können über Q=C*U die Ladung auf dem Kondensator berechnen. Trägt man die Messwerte gegen die Zeit auf, erhält man folgendes Diagramm:

Die Ladungskurve im Diagramm beginnt bei 0, wächst an, und scheint sich immer näher einer maximalen Ladung Q_Max anzunähern. Dies legt den Schluss nahe, dass der Ansatz

die DGL lösen könnte.
Q_Max ist die Ladung im geladenen Zustand. Weil die maximale Spannung am Kondensator gleich der Spannung U_0 der Spannungquelle ist (nur mit umgedrehten Vorzeichen), folgt

und somit für unseren Lösungsansatz

Jetzt muss nur noch geprüft werden, ob dieser Ansatz für die Funktion der Ladungsmenge Q auf dem Kondensator den Aufladevorgang richtig beschreibt. Dazu setzen wir sie in die DGL ein.

60.2: Prüfen des gefundenen Ansatzes an der DGL
Wir setzen

und dessen Ableitung

in die oben erhaltene DGL ein:

Ausmultiplizieren der Klammern...

... einfache Umstellungen der Gleichungen ergeben schließlich:

Vergleicht man nun die Vorfaktoren, so wird unmittelbar sichtbar, dass die Differentialgleichung mit

tatsächlich erfüllt ist. Mit diesem Wert für Lambda haben wir also tatsächlich eine Funktion gefunden, die den Aufladevorgang richtig beschreibt.

60.3: Ladung, Spannung und Strom beim Aufladevorgang von Kondensatoren
Mit der Kapazität C, dem Widerstand R und einer Spannungsquelle mit U_0<0 gilt:

Wegen Q=C*U_C ergibt sich mit

für die Spannung am Kondensator

Und mit I(t)=Q'(t) folgt für die Stromstärke

Dies sind die Ladefunktionen, die beim Aufladevorgang eines Kondensators über einen Widerstand R eine Rolle spielen.

Zusammengefasst:

  • Der Ladevorgang eines Kondensators wird durch folgende Differentialgleichung beschrieben:
  • Für die Ladungsmenge auf der Platte in Abhängigkeit von der Zeit t gilt
  • Für Spannung am Kondensator und Stromstärke gelten