PhysikSkript

Elektrischer Strom und Schaltungen

Potential zweier mit Polen verbundenen Drhte

Der Versuchsaufbau:

Wir verbinden zwei Drahtstcke mit unterschiedlichen Polen einer Spannungsquelle. Die beiden Spitzen der Drhte sind sich nahe, berhren sich jedoch nicht.
Es wre ein normaler kleiner Stromkreislauf, wenn sich die Spitzen berhren wrden.


Kurz nach dem Anschlieen des linken Drahtes an den Minuspol werden vom negativen Pol negative Ladungen in den Draht gedrckt. Diese knnen jedoch am Ende des Drahtes nicht weiter. Weil sich Elektronen gegenseitig abstoen, gibt es einen Rckstau bis zum Pol. Dieser Rckstau verhindert, dass weitere Elektronen auf den Draht gelangen.
Das Analoge passiert mit dem positiven Pol. Auf diese Weise werden die Drhte geladen und ein elektrisches Feld baut sich, wie in der Abbildung dargestellt, zwischen ihnen auf.


Als Potential definierten wir als die Spannung zwischen zwei Punkten zu einem (willkrlich festgelegten) Nullpunkt. Legen wir den Nullpunkt des Potentials auf den negativen Pol der Spannungsquelle. Wrde man das Potential jetzt entlang des unterbrochenen Drahtes graphisch darstellen, erhielte man folgende Abbildung:


Das elektrische Feld stellt sich als Potentialgeflle zwischen den beiden unterschiedlich geladenen Drhten heraus. Diese Erfahrung haben wir auch schon bei Untersuchungen mit 2 Plattenkondensatoren gemacht.

Wrden sich (hypothetisch) am Ende des negativen Drahtes Elektronen ablsen, so wrden sie vom elektrischen Feld wegen der elektrischen Krfte

beschleunigt und dabei "elektrische potentielle Energie" in kinetische Energie umwandeln.
Die elektrische potentielle Energie, die die Elektronen pro Ladung aufnehmen, entspricht dabei der Potentialdifferenz zwischen den Enden der Drhte.
Doch die elektrische Feldstrke E ist nicht gro genug, um Elektronen aus dem Draht zu lsen. Sie knnen daher in diesem Fall nicht von einem Pol zum anderen wandern. Die Situation ndert sich natrlich, wenn wir die beiden Drhte so dicht annhern, dass sie sich berhren...

Zusammengefasst:

  • Der Verlauf eines Potentials kann mithilfe von sogenannten Potentialdiagrammen dargestellt werden.
  • Das Potential im Potentialdiagramm ist am Pluspol maximal und fllt zum Minuspol hin ab.

Qualitative Bedeutung des elektrischen Stroms

Fhrt man nun die beiden Drahtenden aus dem vorherigen Abschnitt zusammen, so knnen die Elektronen direkt zum Pluspol flieen. Der negative Pol pumpt fortlaufend Elektronen nach, so dass ein Strom aus negativen Ladngen aufrecht erhalten werden kann:


Nachdem sich ein berall gleichmig flieender Strom eingestellt hat, werden die Elektronen berall gleichermaen vom elektrischen Feld angetrieben.
Das Potentialgeflle erstreckt sich jetzt, wie oben dargestellt, gleichmig steigend ber die gesamte Lnge des Drahtes.
Die flieenden Elektronen stoen auf ihren Weg vom Minus- zum Pluspol stndig mit Atomrmpfen zusammen. Dabei geben sie sto fr Sto einen Teil ihrer Energie an die Atomrmpfe ab. Diese fangen an zu schwingen, der Draht erwrmt sich.
Fliet die Ladungsmenge q von Minus nach Plus, und besteht zwischen den Polen die Spannung U, so knnen wir die von der flieenden Ladung in Wrme umgewandelte Energie durch

berechnen.
Im Experiment erhht sich die Temperatur des Drahtes so weit, dass er nach einer Weile amfngt zu glhen.

Zusammengefasst:

  • Die vom Miinuspol zum Pluspol flieenden Elektronen werden vom Potentialgeflle zwischen beiden Polen angetrieben.

Die elektrische Stromstrke

Wie knnte man bei den durch einen Draht flieenden Ladungen eine Stromstrke definieren? Ganz einfach:

Fr die durchschnittliche Stromstrke im Zeitraum Δt gilt

Bei konstanter Stromstrke kann diese Formel immer verwendet werden. In manchen Fllen ist die Stromstrke starken Schwankungen unterworfen. Die momentane Stromstrke zu einem bestimmten Zeitpunkt entspricht der Ableitung der Ladung Q nach der Zeit. Fr die momentane Stromstrke gilt also:

Die Einheit der Stromstrke ist das Ampere. Ein Ampere bedeutet, dass durch die Leitung pro Sekunde eine Ladung von einem Coulomb fliet:

Zusammengefasst:

  • Als elektrischen Strom bezeichnet man flieende Ladungstrger
  • Die elektrische Stromstrke ist definiert als Ladungen pro Zeit.

Begriff der elektrischen Leistung

Eine Lampe wird an eine Stromquelle mit U = 6V angeschlossen. Es wird ein Strom um 0,5 A gemessen! Wie viel elektrische Energie wird an der Lampe in Wrme- und Lichtenergie umgewandelt?

  • 0.5A bedeutes ist fliet in 1s die Ladung -0,5C von Minus nach Plus.
  • Damit verrichtet das Feld in jeder Sekunde die Arbeit W_E=U*Q, also
    in jeder Sekunde.
  • Fliet allgemein bei einer Spannung U der Strom I, so wird nach der Zeit Δt die Arbeit
    verrichtet.

Definition: Die Arbeit, die pro Zeit verrichtet wird, nennen wir Leistung

Die Leistung bekommt das Formelzeichen P, wodurch obige Definitionsgleichung folgende Gestalt bekommt:

Die Einheit der Leistung ist das Watt: 1Watt=1Joule/1Sekunde

Beispiel: Leistet eine Glhlampe 60 Watt, so bedeutet dies, dass sie in jeder Sekunde 60 Joule elektrische Energie in Wrme- und Lichtenergie umwandelt.

Zusammengefasst:

  • Leistung ist definiert als verrichtete Arbeit pro dafr bentigte Zeit.

Berechnung der Leistung

In diesem Abschnitt geht es darum, eine wirklich einfache Formel zur Berechnung der elektrischen Leistung zu entwickeln.
Aus dem vorhergehenden Abschnitt wissen wird: In einer Glhbirne wird in der Zeitspanne Δt die Arbeit

verrichtet. Wegen der Definition der Leistung
folgt schlicht und ergreifend

Wenn wir also die Leistung von irgendeinem technischen Gert, zum Beispiel einer Lampe, eines Fns, Laptops,... bestimmen wollen, brauchen wir nur die an dem Gert liegende Spannung U und den durch das Gert flieenden Strom I zu messen. Schon wissen wir, wie viel elektrische Energie pro Sekunde das Gert verschlingt.

Zusammengefasst:

  • Liegt die Spannung U an, und fliet der Strom I, so betrgt die elektrische Leistung

Die Einheit Kilowattstunden

Eine Kilowattstunde (kurz 1kWh) entspricht der Arbeit, die bei einer Leistung von 1000 Watt in einer Stunde verrichtet wird.

In Kraftwerken erzeugt man die elektrische Energie 1kWh aus 0,3kg Steinkohle; 1,5kg Braunkohle; 4m^3 Wasser bei 100m Hhenunterschied oder 0,05mg Uran 235 im Kernkraftwerk. Sie kostet dem Endverbraucher etwa 25,75 Cent.

Der elektrische Widerstand

Experiment:
ber einen dicken Draht und einer dahinter geschalteten Glhbirne fliet ein Strom, die Glhbirne leuchtet hell. Anschlieend wird der dicke Draht durch einen dnnen ausgetauscht. Ergebnis: Die Glhbirne leuchtet dunkler... was ist passiert???

  • Der Strom aus Ladungen hat offenbar grere Schwierigkeiten, durch den dnnen Draht zu flieen als durch den dicken
  • In der Physik sagt man: Der elektrische Widerstand des dnnen Drahtes ist grer als der des dicken


Experiment:
Erhht man die anliegende Spannung, so fliet auch mehr Strom durch den Draht.
Erklrung:
Aufgrund des dadurch strkeren elektrischen Feldes im Leiter, werden die Elektronen mit einer greren Kraft durch den Stromkreis gezogen

Wir stellen folgende Je-desto-Beziehungen fest:

  • Je grer der Strom bei gleichbleibender Spannung, desto kleiner der Widerstand
  • Je grer die Spannung bei gleichbleibendem Strom, desto grer der Widerstand

[[<<] Der Physiker Georg Simon Ohm formte aus den Zusammenhngen eine Formel, die heute als Ohm'sches Gesetz bezeichnet wird. Das Ohm'sche Gesetz lsst sich sehr gut experimentell prfen. Es knpft eine Verbindung zwischen dem Physikalischen Widerstand R, dem Strom I und der Spannung U:

Das Ohm'sche Gesetz:

Die Einheit des Widerstands wird mit dem griechischen Buchstaben Omega abgekrzt: Einheit:

Beispiele: Wir messen den Widerstand...
...einer Glhbirne: R = 0,5 Ohm
...eines Fhns: R = 34 Ohm
...eines Tauchsieders: R = 63 Ohm

Zusammengefasst:

  • Bei gleicher anliegender Spannung fliet durch unterschiedliche Leiter ein unterschiedlich starker Strom.
  • Der elektrische Widerstand ist ein Ma dafr, wie gut ein Leiter den Strom leitet.
  • Fliet bei einer anliegenden Spannung U der Strom I, berechnet sich der elektrische Widerstand zu

Reihenschaltung von Widerstnden

Bei einer Reihenschaltung durchluft der Strom nacheinander alle in Reihe geschalteten Widerstnde.

Es gelten folgende Gesetze bei n in Reihe geschalteten Widerstnden. Die Gesetze lassen sich entweder experimentell ermitteln oder logisch schlussfolgern.

R_ges wird auch "Ersatzwiderstand" genannt. Es wre ein Widerstand der Gre R_ges notwendig, um die n in Reihe geschalteten Widerstnde "zu ersetzen".

Durch jeden Widerstand fliet der selbe Strom.

Zusammengefasst:

  • Bei der Reihenschaltung von Widerstnden gelten folgende Gesetze.

Parallelschaltung von Widerstnden

Bei einer Parallelschaltung wird jeder parallel geschaltete Widerstand von einem anderen Strom durchflossen.

Experimentell oder durch logische berlegungen findet man folgende
Gesetze fr parallel geschaltete Widerstnde:

Um eine Formel fr den Ersatzwiderstand R_ges herzuleiten, mssen wir etwas ausholen:
Nach dem Ohmschen Gesetz gilt:

daraus folgt durch Umstellen fr den Strom:
Verwenden wir diese Formel, um in der obigen Gleichung fr I_ges die Strme zu ersetzen, erhalten wir den Ausdruck

Teilen wir beidseitig durch U_ges, erhalten wir daraus die gesuchte Formel fr den Ersatzwiderstand

Zusammengefasst:

  • Bei der Parallelschaltung von Widerstnden gelten folgende Gesetze

Parallelschaltung von Kondensatoren

Fr elektronische Schaltkreise sind neben den Widerstnden auch Kondensatoren und deren Reihen- und Parallelschaltung interessant. In diesem und den nchsten Abschnitt geht es also um die Berechnung von Ersatzkapazitten.

Liegt an n parallel geschalteten Kondensatoren die Spannung U an, so entspricht die Gesamtladung der Summe der Einzelladungen.

Weil durch die direkte Verbindung mit den Polen den Spannungsquelle an jedem der parallel geschalteten Kondensatoren die selbe Spannung anliegt, folgt mit Q=C*U

Wollte man diese Kondensatoren durch einen einzigen "Ersatzkondensator" ersetzen, so msste dieser also die folgende Kapazitt haben:

Hier krzt sich das U raus und man erhlt

Die Ersatzkapazitt von parallel geschalteten Kondensatoren ist somit die Summe der Einzelkapazitten.

Zusammengefasst:

  • Bei der Parallelschaltung von Kondensatoren gelten folgende Gesetze

Reihenschaltung von Kondensatoren - Betrachtung der Einzelspannungen

Die Reihenschaltung von Kondensatoren ist recht kompliziert. Insbesondere deshalb, weil wir zunchst untersuchen mssen, wie sich die anliegenden Gesamtspannung durch die Einzelspannungen am Kondensator zusammensetzt. Um das herauszufinden, mssen wir einen Umweg ber den Begriff der Arbeit machen:

Betrachten wir zunchst die linke obere Abbildung.
Wenn wir eine Ladung q von der einen zur anderen Platte transportieren, mssen wir dazu die Arbeit

verrichten.
Die gleiche Arbeit muss wegen der gleich groen Spannung verrichtet werden, wenn bei der rechten Abbildung eine gleich groe Ladung z.B. von der linken Platte des linken Kondensators ber den mittleren Kondensator zur rechten Platte des rechten Kondensators transportiert wird. Fr die einzelnen Transportarbeiten der drei Platten gilt demnach:

Betrachtet man die Spannung als Arbeit pro Ladung, so erhlt man, nachdem wir beide Seiten der Gleichung durch q geteilt haben:

Damit haben wir herausgefunden, wie sich bei Kondensatoren die Gesamtspannung aus den Einzelspannungen zusammensetzt. Verallgemeinern wir die Gleichung auf n Kondensatoren, erhalten wir schlielich:

Reihenschaltung von Kondensatoren - Betrachtung der Ersatzkapazitt}

Welche Kapazitt msste ein Ersatzkondensator haben, der n parallel geschaltete Kondesatoren mit den Kapazitten C_1, C_2, ..., C_n ersetzt?
Um diese Frage beantworten zu knnen, mssen wir die auf den Kondensatoren sitzenden Ladungen betrachten.

Entzieht das Netzgert der Platten ganz links Elektronen, so wird sie positiv (+Q) geladen. Aufgrund von Influenzen werden wegen der positiv geladenen linken Platte Elektronen auf die Platte gegenber gezogen, wodurch sie die gleichgroe negative Ladung -Q trgt. Die Elektronen kommen von der linken Platte des Nachbarkondensators, welcher dann die gleiche positive Ladung +Q trgt wie die Platte ganz links. Und so weiter.
Auf diese Weise knnen wir folgern: Jeder Kondensator enthlt die gleiche Ladungsmenge.
Wegen der sich unterscheidenden Kapazitten sind damit aber die Teilspannungen an den Kondensatoren unterschiedlich:

Durch Einsetzen dieser Spannungen folgt fr die Ersatzkapazitt
die Gleichung
Und nach Krzen der Ladung Q:

Bei einer Reihenschaltung von Kondesatoren entspricht der Kehrwert der Ersatzkapazitt dem Kehrwert der Einzelkapazitten.

Zusammengefasst:

  • Bei der Reihenschaltung von Kondensatoren gelten folgende Gesetze

Potential an Widerstand und Kondensator

Das Potential entspricht der Spannung relativ zu einem Bezugspunkt. In der Abbildung wurde der Bezugspunkt auf den negativen Pol der Spannungsquelle gelegt. Wie aus ihr hervor geht, knnen die Potentiale von Widerstnden und Plattenkondensatoren durch einen hnlichen Verlauf dargestellt bzw. modelliert werden.
Unterschied: Beim Widerstand flieen Ladungen. Damit verrichtet das el. Feld dort die Leistung P=U*I beim Kondensator nicht!

Zusammengefasst:

  • Das Potentialgeflle eines Widerstands und eines Plattenkondensators hat einen hnlichen Verlauf.
  • Unterschied: Durch den Widerstand fliet ein Strom, durch den Kondensator nicht.

Entladevorgang bei Kondensatoren

58.1 Potential bei der Kondensatorenentladung

Kondensatorenenladungen spielen nahezuin jedem Bereich der Technik eine Rolle. Insbesondere dort, wo sie als Energiespeicher dienen. Wir entladen den Kondensator ber einen Widerstand R. Das Potential hat dabei folgende Form:

Die Ladungen flien dabei von der negativ geladenen Platte ber den Widerstand zu positiv geladenen Platte. Dabei verliert der Kondensator an Ladung, womit seine Spannung sinkt. Damit fllt auch das Potential ab, was durch den Pfeil dargestellt wird.

58.2 Aufstellen einer Differentialgleichung

Da in der obigen Abbildung die Potentialdifferenz von links nach rechts beim Kondensator die gleiche ist, wie von rechts nach links beim Widerstand, gilt fr die anliegenden Spannungen U_C = -U_R Wir bringen diese Gleichung nun auf eine Form, die nur von den Kenngren C und R, sowie von der Ladung Q(t) auf dem Kondensator und ihrer nderungsrate Q'(t) abhngt. Dazu drcken wir zunchst die Spannungen U_C und U_R durch Q und seine Ableitung aus:

Setzen wir die so erhaltenen Terme in die Gleichung

ein, erhalten wir

Nach Umstellen der Gleichung folgt

Dies ist eine sogenannte Differentialgleichung (DGL). Q(t) ist eine Funktion, die angibt, wie viel Ladung nach der Zeit t noch auf dem Kondensator ist. Den Funktionsterm kennen wir noch nicht. Aber durch die DGL wissen wir: Eine mgliche Funktion Q(t) beschreibt den Entladevorgang nur dann richtig, wenn sie die DGL erfllt - d.h. wenn man die Funktionsterme von Q(t) und Q'(t) in die linke Seite der DGL einsetzt, muss 0 rauskommen.

58.3:

Experiment:
Durch die unten dargestellte Schaltung wird mit dem computergesttzten Messsystem CASSY der Strom- und Spannungsverlauf graphisch dargestellt.

Der Verlauf des Graphen lsst einen exponentiellen Abfall der Ladungsmenge Q(t) auf dem Kondensator vermuten. Wenn die Vermutung stimmt, erfllt dieser Ansatz fr die Ladungsfunktion die Differentialgleichung:

Die Ableitung Q'(t) wre dann

Wir knnen diese Vermutung prfen, indem wir den Funktionsterm von Q(t) und Q'(t) in die DGL fr den Entladevorgeang einsetzen.

Teilen wir diese Gleichung durch den gemeinsamen Faktor

so erhalten wir die Gleichung

Umstellen nach Lambda ergibt

Schlussfolgerung:
Offenbar ist die DGL erfllt, wenn wir

setzen. Hieraus folgen unmittelbar die Entladefunktionen fr Kondensatorentladungen.

Zusammengefasst:

  • Die Differentialgleichung, die den Entladevorgang eines Kondensators beschreibt, ist
  • Die der Verlauf der Ladung Q auf dem Kondensator wird beschrieben durch die Funktion

58.4 Entladefunktionen von Kondensatoren
Ist die Zeit t seit Beginn des Entladevorgangs vergangen, kann man die Ladung, die sich zu diesem Zeitpunkt noch auf dem Kondensator befindet, ber die folgende Funktion berechnen:

mit:
Q_0 : Anfangsladung zum Zeitpunkt t=0
R : Widerstand, ber den der Strom fliet
C : Kapazitt des Kondensators


Mit der Ladung fllt auch die Spannung

ab:

mit

U_0: Spannung am Kondensator zum Zeitpunkt t=0

Wegen I=Q'(t) erhalten wir fr die Stromstrke am Kondensator

mit dem Anfangsstrom I_0 = U_0/R kurz nach Beginn der Entladung.
Der Strom ist negativ, weil die Ladung den Kondensator verlassen und Q(t) daher abnimmt.

Zusammengefasst:

  • Beim Entladevorgang eines Kondensators gilt fr die Spannung am Kondensator und die Stromstrke

Berechnung von Halbwertszeiten

Als Halbwertszeit bezeichnet man die Zeit, die beim Entladevorgang eines Kondensators verstreicht, bis nur noch die Hlfte der Ladungen auf dem Kondensator sind. Mit der Funktion Q(t) ausgedrckt gilt fr die Halbwertszeit t_h:

... nach Division durch Q_0 folgt:

Anwendung des Logarithmus Naturalis:

Und weil ln(1)=0 ist, folgt fr die Halbwertszeit t_h:

Zusammengefasst:

  • Nach der Zeit
    halbiert sich die Ladungsmenge auf dem Kondensator.

Aufladevorgang eines Kondensators

Unser Ziel ist es jetzt - analog zum Entladevorgang - den Aufladevorgang eines Kondensators durch Funktionen fr den zeitlichen Verlauf von Ladung, Spannung und Strom am Kondensator zu beschreiben. Dazu stellen wir erneut zunchst eine DGL auf, um anschlieend eine Funktion zu finden, die die DGL lst.

Beim ungeladenen Kondensator ist das Potential der linken und der rechten Platte gleich gro, da U_C=0.
Wird der Kondensator, wie in der Skizze unten dargestellt, ber einen Widerstand R geladen, so erhht sich das Potential der in der Abbildung rechten Platte und gleicht sich nach und nach dem Potential der Spannungsquelle U_0 an.

Die jeweils anliegende Spannung entspricht nun der Potentialdifferenz. Aus der Skizze folgt somit die Gleichung

Wir ersetzen hier die Kondensatorspannung

sowie die Spannung am Widerstand

und erhalten:

Division durch R und Umstellen liefert schlielich die Differentialgleichung (DGL):

Wir werden jetzt versuchen, eine Funktion fr Q(t) zu finden, welche die DGL lst.


60.1: Experiment: Aufladen eines Kondensators
Um einen Ansatz fr die Ladungsfunktion Q(t) zu finden, laden wir den Kondensator experimentell, wie in der folgenden Schaltskizze gezeigt, auf.

Wie messen die Spannung U_C und knnen ber Q=C*U die Ladung auf dem Kondensator berechnen. Trgt man die Messwerte gegen die Zeit auf, erhlt man folgendes Diagramm:

Die Ladungskurve im Diagramm beginnt bei 0, wchst an, und scheint sich immer nher einer maximalen Ladung Q_Max anzunhern. Dies legt den Schluss nahe, dass der Ansatz

die DGL lsen knnte.
Q_Max ist die Ladung im geladenen Zustand. Weil die maximale Spannung am Kondensator gleich der Spannung U_0 der Spannungquelle ist (nur mit umgedrehten Vorzeichen), folgt

und somit fr unseren Lsungsansatz

Jetzt muss nur noch geprft werden, ob dieser Ansatz fr die Funktion der Ladungsmenge Q auf dem Kondensator den Aufladevorgang richtig beschreibt. Dazu setzen wir sie in die DGL ein.

60.2: Prfen des gefundenen Ansatzes an der DGL
Wir setzen

und dessen Ableitung

in die oben erhaltene DGL ein:

Ausmultiplizieren der Klammern...

... einfache Umstellungen der Gleichungen ergeben schlielich:

Vergleicht man nun die Vorfaktoren, so wird unmittelbar sichtbar, dass die Differentialgleichung mit

tatschlich erfllt ist. Mit diesem Wert fr Lambda haben wir also tatschlich eine Funktion gefunden, die den Aufladevorgang richtig beschreibt.

60.3: Ladung, Spannung und Strom beim Aufladevorgang von Kondensatoren
Mit der Kapazitt C, dem Widerstand R und einer Spannungsquelle mit U_0<0 gilt:

Wegen Q=C*U_C ergibt sich mit

fr die Spannung am Kondensator

Und mit I(t)=Q'(t) folgt fr die Stromstrke

Dies sind die Ladefunktionen, die beim Aufladevorgang eines Kondensators ber einen Widerstand R eine Rolle spielen.

Zusammengefasst:

  • Der Ladevorgang eines Kondensators wird durch folgende Differentialgleichung beschrieben:
  • Fr die Ladungsmenge auf der Platte in Abhngigkeit von der Zeit t gilt
  • Fr Spannung am Kondensator und Stromstrke gelten