PhysikSkript

Elektrische Zentralfelder (Coulombfelder)

Das elektrische Feld einer Punktladung

Punktladungen kommen überall in unserer Welt vor, z.B. Atomkerne oder Elektronen. Wir untersuchen jetzt aber das Feld, welches die Elektronen auf ihren Bahnen um die Atomkerne hält. Aus dem Versuch mit Grießkörnern wissen wir, dass die Feldlinien radial nach außen gehen.

Doch wie kann man die Stärke des Feldes im Abstand r von der Punktladung Q berechnen?
Versuchen wir zunächst, uns einer mathematischen Formulierung durch logische Überlegungen zu nähern.

  • Beim Verdoppeln der Ladung Q verdoppelt sich auch die Anzahl der Feldlinien. Die Feldstärke um Q ist also wahrscheinlich proportional zu Q.
  • Die Oberfläche einer Kugel vervierfacht sich wegen
    bei doppeltem Abstand. Die gleiche Anzahl Feldlinien verteilt sich im doppelten Abstand auf die vierfache Fläche. Daher ist die Feldstärke im doppelten Abstand nur noch 1/4 so groß. Vermutlich verhält sie sich also proportional zu 1/r^2.
    Aus unseren logischen Überlegungen erhalten wir folgende Formel:
wobei k ein Proportionalitätsfaktor ist.


39.1: Unabhängigkeit der Feldstärke E vom Radius der Ladungskugel
Experiment:
Zunächst wird eine kleine Metallkugel mit der Ladung +Q geladen. Mithilfe einer Probeladung q messen wir die Kraft im Feld von Q.
Anschließend umhüllen wir die kleine Kugel mit der Ladung Q mit einer großen, ungeladenen Kugelschale.
Ergebnis: Die Kraft auf die Probeladung q bleibt gleich groß.
Experiment 2:
Jetzt berühren wir die äußere Kugelschale mit der kleineren Kugel Q, wodurch sich die Ladungen gleichmäßig auf die Fläche der großen Kugel verteilen.
Ergebnis: Die Kraft auf die Probeladung verändert sich weiter nicht.

Schlussfolgerung: Das elektrische Feld hängt nicht von der Größe der Kugel ab, auf der die Ladungen sitzen: Egal, ob sich eine Ladungsmenge Q auf eine kleine oder auf eine große Kugel verteilt: Das umgebene elektrische Feld ändert sich nicht.

39.2: Berechnung der Feldstärke
Obwohl das Gravitationsfeld der kugelförmigen Erde radial nach außen geht, kann man es bezüglich eines sehr kleinen Bereichs der Erdoberfläche als homogen ansehen, da hier die Feldlinien annähern parallel liegen.
Betrachtet man einen sehr kleinen Bereich über einer geladenen Kugeloberfläche, so liegen auch hier die Feldlinien annähernd parallel und wir können mit den Gesetzen für homogene Felder arbeiten. Dieses Vorgehen soll anhand der folgenden Abbildung veranschaulicht werden:

In der Abbildung werden die in den kleinen Rechtecken umrahmten Ausschnitte der Kugel sukzessive vergrößert. Sehr nahe an der Kugeloberfläche liegen die Feldlinien dann in guter Näherung parallel.
Wollen wir nun das Feld unserer Zentralladung Q an der Position der Probeladung q betrachten, so denken wir uns einfach die Kugel mit der Ladung Q so weit ausgedehnt, dass sie bis zur Probeladung q reicht. Die folgende Abbildung veranschaulicht den Gedanken:

Nach 39.1 ändert sich durch die Vergrößerung von Q das elektrische Feld bei q nicht.

Bei der ausgedehnten Kugel würde sich die Ladung Q auf dessen Oberfläche

verteilen. Die Flächenladungsdichte sinkt dann auf

Mit ihr kann man wegen
die elektrische Feldstärke direkt ausrechnen:


Damit haben wir die eingangs gesuchte Formel für die elektrische Feldstärke einer Punktladung gefunden. Die aus logischen Gesichtspunkten hergeleitete Vermutung

bestätigt sich somit. Es ist

Auf diese Weise kann man die elektrische Feldstärke um beliebige Zentralladungen Q bestimmen. r ist dabei der Abstand zum Mittelpunkt der Zentralladung.

Zusammengefasst:

  • Das elektrische Feld einer Ladung Q im Abstand r kann durch folgende Formel berechnet werden.

Die Coulomb-Kraft

Wie kann man aus unseren bisherigen Ergebnissen die Kraft berechnen, mit der sich zwei Punktladungen q_1 und q_2 anziehen oder abstoßen?
Zur Beantwortung der Frage betrachten wir die Ladung q_2 im Feld der Ladung q_1. (Die umgekehrte Betrachtung führt zum selben Ergebnis)
* Die Zentralladung q_1 verursacht das elektrische Feld

Welche elektrische Kraft wirkt zwischen ihr und einer zweiten Ladung q2?

  • Aus
    folgt:

Diese Kraft zweier Zentralladungen im Abstand r zueinander nennt man Coulomb-Kraft. Ein Beispiel, in dem die Coulombkraft eine entscheidende Rolle spielt, ist die anziehende Kraft zwischen den positiv geladenen Atomkernen und den um sie kreisenden Elektronen.

Zusammengefasst:

  • Die Kraft zwischen zwei Ladungen der Größe q1 und q2, die den Abstand r voneinander haben, beträgt

Vergleich der Coulombkraft mit der Gravitationskraft

Transportarbeit zwischen 2 Punkten im Coulomb-Feld

Die Arbeit, die verrichtet werden muss, um eine Ladung q von einem Punkt im Elektrischen Feld zu einem anderen zu bewegen, nennt man auch Transportarbeit. Bei homogenen Feldern haben wir bereits Formeln für die Transportarbeit hergeleitet. Für Zentralfelder benötigen wir folgende Kenntnisse zu homogenen Feldern:

Im Weg-Kraft-Diagramm entspricht die Transportarbeit nämlich der mit der x-Achse eingeschlossenen Fläche des Graphen.

Vorgehen im Coulomb-Feld:
Die Berechnung der Arbeit im Coulomb-Feld ist deutlich komplizierter.

Entfernt man man die Ladung q von der Zentralladung vom Abstand r_1 auf den Abstand r_2, so stößt man bei der Berechnung der dafür benötigten Arbeit auf folgendes Problem:

ist nicht möglch, da die Kraft F_E nicht konstant ist:

Sie nimmt nämlich quadratisch mit dem Abstand ab. Zeichnet man das Weg-Kraft-Diagramm, so ergibt sich im Fall einer Zentralkraft deswegen keine Rechtecksfigur, sonder der Graph verläuft hyperbolisch:

Wie können wir die Transportarbeit daraus berechnen?
Idee: Die Transportarbeit entspricht vermutlich der Fläche unter dem Graphen (markiert).

Wir müssen diese Fläche also nur noch berechnen. Dazu teilen wir sie in eine zunehmende Anzahl an Rechtecken ein:
In den folgenden Abbildungen entspricht die Fläche aller Rechtecke zusammen umso genauer der Fläche unter dem Graphen, je feiner wir die Unterteilung wählen:

Wir stellten fest, dass die Fläche unter dem Graphen gleich der Transportarbeit ist, die verrichtet werden muss, um die Probeladung q von r_1 nach r_2 zu bringen.
Teilen wir die Fläche in n Rechtecke ein, so gilt für dessen Breite

und somit für die Fläche des i-ten Rechtecks

Im Fall einer Einteilung in unendlich viele, unendlich schmale Rechtecke läuft die Anzahl n der Rechtecke gegen unendlich. In diesem Fall erhalten wir die Fläche des Graphen exakt, welche der Transportarbeit entspricht:

Diese Aufsummierung schreiben Mathematiker als Integral:

dr ist hier die unendlich kleine Länge des Rechtecks, F die Höhe. Setzen wir unsere hergeleitete Formel für die Coulomb-Kraft ein, erhalten wir

Die Mathematiker haben uns zum Ausrechnen dieses Integrals als wichtiges Werkzeug die Integralrechnung entwickelt. Mit ihrer Hilfe erhalten wir:

Bildung des Integrals liefert

Zusammengefasst:

  • Transportiert man eine Ladung q im Feld einer Zentralladung Q von einem Punkt mit Abstand r1 zu einem Punkt mit Abstand r2, so benötigt man dazu die Transportarbeit

Spannung zwischen 2 Punkten im Coulomb-Feld

Die Spannung ist definiert als

Für die Spannung zwischen zwei Punkten im Coulomb-Feld, die den Abstand r_1 bzw r_2 von der Zentralladung Q entfernt liegen folgt:

Das Coulomb- Potential

Spannung besteht immer zwischen zwei Punkten. Sie ist die Arbeit, die pro Ladung verrichtet werden muss, um diese von einem Punkt eines elektrischen Feld zu einem anderen Punkt zu transportieren. Als Potential bezeichneten wir die Spannung relativ zu einem festen Bezugspunkt, welcher als Nullpunkt zuvor festgelegt werden muss.
Beim sogenannten Coulomb-Potential betrachtet man das Potential bei einer Zentralladung und legt diesen Bezugspunkt ins Unendliche: Als Coulomb- Potenzial bezeichnet man also die Spannung relativ zu einem unendlich weit entfernten Punkt im Feld einer Zentralladung. Man bezeichnet das Coulomb-Potential eines Punktes mit dem griechischen Buchstaben φ.
Wegen

folgt mithilfe der Spannungsformel aus dem letzten Abschnitt für das Coulomb-Potential:

Zusammengefasst:

  • Ein Punkt habe den Abstand r von einer Zentralladung q. Das Coulomb-Potential des Punktes entspricht der Spannung des Punktes und einem unendlich weit entfernten Punkt. Es gilt

Die Kapazität einer Kugel

Wegen

und
folgt für die Kapazität einer Metallkugel: