PhysikSkript

Elektrische Zentralfelder (Coulombfelder)

Das elektrische Feld einer Punktladung

Punktladungen kommen berall in unserer Welt vor, z.B. Atomkerne oder Elektronen. Wir untersuchen jetzt aber das Feld, welches die Elektronen auf ihren Bahnen um die Atomkerne hlt. Aus dem Versuch mit Griekrnern wissen wir, dass die Feldlinien radial nach auen gehen.

Doch wie kann man die Strke des Feldes im Abstand r von der Punktladung Q berechnen?
Versuchen wir zunchst, uns einer mathematischen Formulierung durch logische berlegungen zu nhern.

  • Beim Verdoppeln der Ladung Q verdoppelt sich auch die Anzahl der Feldlinien. Die Feldstrke um Q ist also wahrscheinlich proportional zu Q.
  • Die Oberflche einer Kugel vervierfacht sich wegen
    bei doppeltem Abstand. Die gleiche Anzahl Feldlinien verteilt sich im doppelten Abstand auf die vierfache Flche. Daher ist die Feldstrke im doppelten Abstand nur noch 1/4 so gro. Vermutlich verhlt sie sich also proportional zu 1/r^2.
    Aus unseren logischen berlegungen erhalten wir folgende Formel:
wobei k ein Proportionalittsfaktor ist.


39.1: Unabhngigkeit der Feldstrke E vom Radius der Ladungskugel
Experiment:
Zunchst wird eine kleine Metallkugel mit der Ladung +Q geladen. Mithilfe einer Probeladung q messen wir die Kraft im Feld von Q.
Anschlieend umhllen wir die kleine Kugel mit der Ladung Q mit einer groen, ungeladenen Kugelschale.
Ergebnis: Die Kraft auf die Probeladung q bleibt gleich gro.
Experiment 2:
Jetzt berhren wir die uere Kugelschale mit der kleineren Kugel Q, wodurch sich die Ladungen gleichmig auf die Flche der groen Kugel verteilen.
Ergebnis: Die Kraft auf die Probeladung verndert sich weiter nicht.

Schlussfolgerung: Das elektrische Feld hngt nicht von der Gre der Kugel ab, auf der die Ladungen sitzen: Egal, ob sich eine Ladungsmenge Q auf eine kleine oder auf eine groe Kugel verteilt: Das umgebene elektrische Feld ndert sich nicht.

39.2: Berechnung der Feldstrke
Obwohl das Gravitationsfeld der kugelfrmigen Erde radial nach auen geht, kann man es bezglich eines sehr kleinen Bereichs der Erdoberflche als homogen ansehen, da hier die Feldlinien annhern parallel liegen.
Betrachtet man einen sehr kleinen Bereich ber einer geladenen Kugeloberflche, so liegen auch hier die Feldlinien annhernd parallel und wir knnen mit den Gesetzen fr homogene Felder arbeiten. Dieses Vorgehen soll anhand der folgenden Abbildung veranschaulicht werden:

In der Abbildung werden die in den kleinen Rechtecken umrahmten Ausschnitte der Kugel sukzessive vergrert. Sehr nahe an der Kugeloberflche liegen die Feldlinien dann in guter Nherung parallel.
Wollen wir nun das Feld unserer Zentralladung Q an der Position der Probeladung q betrachten, so denken wir uns einfach die Kugel mit der Ladung Q so weit ausgedehnt, dass sie bis zur Probeladung q reicht. Die folgende Abbildung veranschaulicht den Gedanken:

Nach 39.1 ndert sich durch die Vergrerung von Q das elektrische Feld bei q nicht.

Bei der ausgedehnten Kugel wrde sich die Ladung Q auf dessen Oberflche

verteilen. Die Flchenladungsdichte sinkt dann auf

Mit ihr kann man wegen
die elektrische Feldstrke direkt ausrechnen:


Damit haben wir die eingangs gesuchte Formel fr die elektrische Feldstrke einer Punktladung gefunden. Die aus logischen Gesichtspunkten hergeleitete Vermutung

besttigt sich somit. Es ist

Auf diese Weise kann man die elektrische Feldstrke um beliebige Zentralladungen Q bestimmen. r ist dabei der Abstand zum Mittelpunkt der Zentralladung.

Zusammengefasst:

  • Das elektrische Feld einer Ladung Q im Abstand r kann durch folgende Formel berechnet werden.

Die Coulomb-Kraft

Wie kann man aus unseren bisherigen Ergebnissen die Kraft berechnen, mit der sich zwei Punktladungen q_1 und q_2 anziehen oder abstoen?
Zur Beantwortung der Frage betrachten wir die Ladung q_2 im Feld der Ladung q_1. (Die umgekehrte Betrachtung fhrt zum selben Ergebnis)
* Die Zentralladung q_1 verursacht das elektrische Feld

Welche elektrische Kraft wirkt zwischen ihr und einer zweiten Ladung q2?

  • Aus
    folgt:

Diese Kraft zweier Zentralladungen im Abstand r zueinander nennt man Coulomb-Kraft. Ein Beispiel, in dem die Coulombkraft eine entscheidende Rolle spielt, ist die anziehende Kraft zwischen den positiv geladenen Atomkernen und den um sie kreisenden Elektronen.

Zusammengefasst:

  • Die Kraft zwischen zwei Ladungen der Gre q1 und q2, die den Abstand r voneinander haben, betrgt

Vergleich der Coulombkraft mit der Gravitationskraft

Transportarbeit zwischen 2 Punkten im Coulomb-Feld

Die Arbeit, die verrichtet werden muss, um eine Ladung q von einem Punkt im Elektrischen Feld zu einem anderen zu bewegen, nennt man auch Transportarbeit. Bei homogenen Feldern haben wir bereits Formeln fr die Transportarbeit hergeleitet. Fr Zentralfelder bentigen wir folgende Kenntnisse zu homogenen Feldern:

Im Weg-Kraft-Diagramm entspricht die Transportarbeit nmlich der mit der x-Achse eingeschlossenen Flche des Graphen.

Vorgehen im Coulomb-Feld:
Die Berechnung der Arbeit im Coulomb-Feld ist deutlich komplizierter.

Entfernt man man die Ladung q von der Zentralladung vom Abstand r_1 auf den Abstand r_2, so stt man bei der Berechnung der dafr bentigten Arbeit auf folgendes Problem:

ist nicht mglch, da die Kraft F_E nicht konstant ist:

Sie nimmt nmlich quadratisch mit dem Abstand ab. Zeichnet man das Weg-Kraft-Diagramm, so ergibt sich im Fall einer Zentralkraft deswegen keine Rechtecksfigur, sonder der Graph verluft hyperbolisch:

Wie knnen wir die Transportarbeit daraus berechnen?
Idee: Die Transportarbeit entspricht vermutlich der Flche unter dem Graphen (markiert).

Wir mssen diese Flche also nur noch berechnen. Dazu teilen wir sie in eine zunehmende Anzahl an Rechtecken ein:
In den folgenden Abbildungen entspricht die Flche aller Rechtecke zusammen umso genauer der Flche unter dem Graphen, je feiner wir die Unterteilung whlen:

Wir stellten fest, dass die Flche unter dem Graphen gleich der Transportarbeit ist, die verrichtet werden muss, um die Probeladung q von r_1 nach r_2 zu bringen.
Teilen wir die Flche in n Rechtecke ein, so gilt fr dessen Breite

und somit fr die Flche des i-ten Rechtecks

Im Fall einer Einteilung in unendlich viele, unendlich schmale Rechtecke luft die Anzahl n der Rechtecke gegen unendlich. In diesem Fall erhalten wir die Flche des Graphen exakt, welche der Transportarbeit entspricht:

Diese Aufsummierung schreiben Mathematiker als Integral:

dr ist hier die unendlich kleine Lnge des Rechtecks, F die Hhe. Setzen wir unsere hergeleitete Formel fr die Coulomb-Kraft ein, erhalten wir

Die Mathematiker haben uns zum Ausrechnen dieses Integrals als wichtiges Werkzeug die Integralrechnung entwickelt. Mit ihrer Hilfe erhalten wir:

Bildung des Integrals liefert

Zusammengefasst:

  • Transportiert man eine Ladung q im Feld einer Zentralladung Q von einem Punkt mit Abstand r1 zu einem Punkt mit Abstand r2, so bentigt man dazu die Transportarbeit

Spannung zwischen 2 Punkten im Coulomb-Feld

Die Spannung ist definiert als

Fr die Spannung zwischen zwei Punkten im Coulomb-Feld, die den Abstand r_1 bzw r_2 von der Zentralladung Q entfernt liegen folgt:

Das Coulomb- Potential

Spannung besteht immer zwischen zwei Punkten. Sie ist die Arbeit, die pro Ladung verrichtet werden muss, um diese von einem Punkt eines elektrischen Feld zu einem anderen Punkt zu transportieren. Als Potential bezeichneten wir die Spannung relativ zu einem festen Bezugspunkt, welcher als Nullpunkt zuvor festgelegt werden muss.
Beim sogenannten Coulomb-Potential betrachtet man das Potential bei einer Zentralladung und legt diesen Bezugspunkt ins Unendliche: Als Coulomb- Potenzial bezeichnet man also die Spannung relativ zu einem unendlich weit entfernten Punkt im Feld einer Zentralladung. Man bezeichnet das Coulomb-Potential eines Punktes mit dem griechischen Buchstaben φ.
Wegen

folgt mithilfe der Spannungsformel aus dem letzten Abschnitt fr das Coulomb-Potential:

Zusammengefasst:

  • Ein Punkt habe den Abstand r von einer Zentralladung q. Das Coulomb-Potential des Punktes entspricht der Spannung des Punktes und einem unendlich weit entfernten Punkt. Es gilt

Die Kapazitt einer Kugel

Wegen

und
folgt fr die Kapazitt einer Metallkugel: