PhysikSkript

Homogene elektrische Felder und der Zusammenhang mit Ladungen

Faraday's Feldtheorie

In den vorhergehenden Abschnitten stellten wir fest, dass gleichnamige elektrische Ladungen sich abstoen, whrend ungleichnamige sich anziehen. Doch wo rhren diese Krfte her?

  • Frher glaubte man an Fernkrfte, die den Raum instantan durchdringen.
  • Faraday nahm an, dass der Raum um Ladungen herum durch ein elektrisches Feld durchzogen wird, welches die Krfte vermittelt.
  • Dieses Feld lsst sich mit sogenannten Feldlinien zeichnerisch darstellen.
  • Ladungen erfahren in solchen elektrischen Feldern Krfte, die tangential zu den Feldlinien wirken:

Im Laufe der Zeit stellte sich heraus, dass diese Feldvorstellung richtig zu sein scheint. Wir werden im Laufe dieses Kurses selbst immer weitere Indizien dafr sammeln.

Zusammengefasst:

  • Ladungen sind von einem elektrischen Feld umgeben.
  • Dieses Feld ist Mittler der elektrischen Krfte.

Feldlinienbilder von Punktladungen und Kondensatoren

Experiment: Wir geben einige Grieskrner in eine Schale mit Rizinusl. In das l tauchen wir Metallstempel, die wir unterschiedlich aufladen knnen. Laden wir sie auf, werden in den Grieskrnern Dipole induziert, welche sich entlang der elektrischen Feldlinien ausrichten. Wir untersuchen somit den Verlauf des Feldes bei folgenden Krpern:
Das Feld einer Punktladung:

Das Feld zweier sich anziehender Punktladungen:

Das Feld zweier sich abstoender Punktladungen:

Das Feld eines Kondensators:


Zwischen zwei Kondensatorplatten verlaufen die Feldlinien parallel und im gleichen Abstand. berall ist die Strke des elektrischen Feldes gleich gro. Solche Felder nennt man homogen.

Zusammengefasst:

  • Das elektrische Feld einer Punktladung verluft radial nach auen.
  • Die Feldlinien zwischen Kondensatorplatten verlaufen parallel. Man nennt diese Felder homogen.

Elektrische Krfte wirken tangential zu den Feldlinien

Experiment:
Eine kleine gelandene Konduktorkugel wird an einem isolierten Faden in den Kondensator gehalten

Beobachtung:
Die Kugel schlgt parallel zur E-Feld-Richtung aus, wenn sie positiv gelanden ist. Bei negativer Ladung schlgt sie antiparallel zur E-Feld-Richtung aus.
Hieraus knnen wir schlussfolgern:
Elektrische Krfte wirken tangential zu den Feldlinien (F II E-Feld)

Zusammengefasst:

  • Elektrische Krfte wirken immer tangential zu den Feldlinien.

Der Faraday'sche Kfig

Der Faraday'sche Kfig ist ein Begriff, der in vielen Bereichen des Alltags einzug gehalten hat. Aber was steckt eigentlich dahinter?
Um das zu ergrnden, sehen wir uns an, was passiert, wenn man einen Metallring in ein elektrisches Feld gibt:


Links in der Abbildung sehen wir den vom elektrischen Feld durchsetzten Ring. Die negativen Ladungen in Metallen sind aber beweglich. Das uere Feld bewirkt eine Kraft auf die beweglichen Ladungen und sorgen fr eine Ladungsverschiebung im Ring.
Dieser Zustand ist rechts eingezeichnet. Dadurch, dass sich die Ladungen innerhalb des Rings verschieben, erzeugen sie ein Gegenfeld zum ueren Feld. Das elektrische Feld im Innern des Rings wird mit der zunehmenden Ladungsverschiebung zunehmend abgeschwcht, bis es verschwunden ist. In diesem Gleichgewichtszustand sind die Ladungen verschoben, und das Innere des Rings ist feldfrei.

Ein Faraday'scher Kfig ist also gewissermaen ein feldfreier Raum. Lebewesen sind in solchen feldfreien Rumen vor elektrischen bersprngen wie Blitze geschtzt.

Zusammengefasst:

  • Das Innere eines Faraday'schen Kfigs ist feldfrei.

Der Zusammmenhang zwischen Ladung, Kraft und Strke des E-Feldes

Wovon hngt die Strke der auf die Ladung q wirkende elektrischen Kraft F ab?

Vermutlich von der Menge an Ladung q, auf die die Kraft wirkt. Vermutlich aber auch von etwas, was man die "Strke" des elektrischen Feldes bezeichnen knnte: Die elektrische Feldstrke krzen wir mit dem Buchstaben E ab.
Wir vermutend die folgenden Zusammenhnge:

  • Je grer die Ladung q, desto grer die elektrische Kraft F
  • Je grer die Feldstrke E, desto grer die elektrische Kraft F


Wir prfen unsere Vermutungen anhand eines Experiments.
Experiment:
Eine Konduktorkugel wird an einen digitalen, sehr genauen Kraftmesser befestigt. Wir lasen sie positiv auf, bringen sie in ein elektrisches Feld und messen die durch das Feld verursachte elektrische Kraft auf die Ladung.
Beobachtung:

  • Verdoppeln wir die Ladung auf der Konduktorkugel, so verdoppelt sich auch die auf sie wirkende Kraft F.
  • Verdoppeln wir die Strke des elektrischen Feldes (durch Erhhung der Spannung am Kondensator), so verdoppelt sich die Kraft F.

Ergebnis:
Die oben genannten Vermutungen werden durch das Experiment besttigt.

Mathematisch knnen wir fr den Zusammenhang zwischen Kraft, Ladung und Feldstrke den folgenden Zusammenhang ansetzen:

Die Formel beschreibt den beobachteten Zusammenhang richtig: Verdoppelt man die Ladung bei gleicher Feldstrke, so verdoppelt sich - auch nach der Formel - die Kraft. Analog beschreibt die Formel auch die Kraft bei Verdopplung der Feldstrke richtig.
Streng genommen wre es mglich, dass sich die Kraft um einen konstanten Vorfaktor von q*E unterscheidet. Allerdings hatten wir E bisher noch nicht mathematisch definiert - und knnen es so definieren, dass obige Gleichung auch ohne Vorfaktor gilt:

Definition:
Die Feldstrke E in einem Punkt des Feldes ist der von der Ladung q unabhngige Vektor

Die Pfeile ber E und F symbolisieren, dass es sich bei der Feldstrke und der Kraft um gerichtete Gren handelt: Sowohl die Feldstrke als auch die Kraft wirken in eine bestimmte Richtung. Dies wird durch die Pfeile angedeutet.

Zusammengefasst:

  • Die Strke eines elektrischen Feldes wird als elektrische Feldstrke E bezeichnet. Sie hat die Bedeutung von Kraft pro Ladung.
  • Die Kraft F auf eine Ladung q im Feld der Strke E lsst sich berechnen durch

Parallelen und Unterschiede zwischen elektrischem Feld und Gravitation


In diesem Abschnitt werden die Eigenschaften elektrischer Krfte mit den Gravitationskrften aus der Mittelstufe verglichen:

Analogien:

Feldartgravitativelektrisch
Eigenschaft des ProbekrpersMasse mLadung
Krfte
Feldstrke
Arbeit bei Strecke d parallel zum Feld
=> im homogenen Feld


Unterschiede:

  • Das Gravtiationsfeld wirkt auf Massen, das E-Feld auf Ladungen
  • Gravitationskrfte wirken nur anziehend, elektrische Krfte knnen zudem auch abstoend wirken
  • Es gibt nur eine "Art" der Masse, aber zwei "Arten" an Ladungen: Positive und negative Ladungen

Elektrische Arbeit und Bewegungen senkrecht und diagonal zu den Feldlinien

Welche Arbeit wird verrichtete, wenn man eine Ladung q parallel zu den Feldlinien verschiebt?
Die mechanische Arbeit W ist definiert als Kraft (Formelzeichen F) mal Weg (Formelzeichen d):

Setzen wir fr F die Formel fr die elektrische Kraft ein, erhalten wir:

Dies ist die verrichtende Arbeit, wenn eine Ladung q entlang der Feldlinien des Feldes der Strke E um die Strecke d verschoben wird.

Doch: Welche Arbeit wird verrichtet, wenn wir die Ladung senkrecht oder diagonal zu den Feldlinien verschieben?
Diese Frage knnen wir leicht beantworten, wenn wir die Analogie zum Gravitationsfeld nutzen:

1. Bildreihe: Wie bei der Gravitation bei Massen auch, wird keine Arbeit durch das Feld verrichtet wenn sich die Ladungen senkrecht zu den Feldlinien bewegen, da hierzu keine zustzliche Kraft bentigt wird.
2. Bildreihe: Wie bei der Gravitation, hngt die Transportarbeit nur von dem Anteil "d" der Strecke ab, der in Richtung der Feldkrfte verluft. Damit muss nur der Anteil der zurckgelegten Strecke bercksichtigt werden, der in Richtung der Feldlinien verluft.

Zusammengefasst:

  • Zur Berechnung der Transportarbeit einer Ladung durch ein elektrisches Feld muss nur der Anteil des zurckgelegten Weges bercksichtigt werden, der parallel zu den Feldlinien ist.

Definition der Spannung

Feldlinien verrichten an der Ladung q zwischen zwei Punkten im elektrischen Feld die Transportarbeit W. Die elektrische Spannung zwischen diesen Punkten ist dann wie folgt definiert:

Als Spannung bezeichnet man in der Physik als nichts anderes als Arbeit pro Ladung. Sie hat das Formelzeichen U; mit ihm drckt sich der Zusammenhang durch folgende Formel aus:

Die Einheit der Spannung ist das Volt. Ein Volt setzt sich aus den Einheiten Joule (fr Arbeit) und Coulomb (fr Ladung) zusammen.

Beispiel: Die Spannung 1V bedeutet also, dass beim Transport der Ladung 1C von den Feldkrften die Arbeit 1J verrichtet wird.

Zusammengefasst:

  • Die Spannung zwischen zwei Punkten ist definiert als die Arbeit, die pro Ladung bentigt wird, um eine Ladung von dem einen Punkt zum anderen Punkt zu transportieren.
  • Die Einheit der Spannung ist das Volt.

Untersuchung der Spannung zwischen Kondensatorplatten

Exp.: Zwischen zwei Aluminiumstreifen, welche die Kondesatorplatten darstellen, wird ein feuchtes Papiertuch gelegt. Die "Platten" werden mit einem Netzgert auf die Spannung 9 Volt gebracht. Das Ganze wird zur Abschirmung von auen auf eine Styroporplatte gelegt. Mit einem Messverstrker knnen nun die Spannungsdifferenzen zwischen zwei beliebigen Punkten zwischen den Platten gemessen werden.

Feststellungen:

  • Zwischen zwei Punkten, die auf einer Parallelen zu den Kondensatorplatten liegen, ist die Spannung Null.
  • Die Spannung nimmt parallel zu den Feldlienien linear zu.

=> Spannung existiert in einem Feld auch dann, wenn keine Ladungen transportiert werden. Sie gibt die Arbeit pro Ladung an, die ein Feld verrichten wrde, wenn sich die Ladung von dem einen zum anderen Punkt bewegen wrde.

Zusammengefasst:

  • Die Spannung ist eine Zustandsgre. Sie existiert auch dann, wenn keine Ladung transportiert wird.
  • Im Feld eines Plattenkondensators ist die Spannung zwischen zwei Punkten, die auf einer Parallelen zu den Platten liegen, Null.
  • Die Spannung nimmt im homogenen Feld parallel zu den Feldlinien linear zu.

Potential und quipotentialflche

Mithilfe flexibler Drhte tasten wir das elektrische Feld zwischen zwei Kondensatorplatten ab und bestimmen die Spannung zwischen den beiden Messpunkten P_1 und P_2:


In Anlehnung an den Begriff der potentiellen Energie aus der Mechanik, fhren wir jetzt den Begriff des elektrischen Potentials ein:
Die Spannung relativ zur zu einem feststehenden Bezugspunkt, nennen wir elektrisches Potential. Dieser Bezugspunkt wird Nullpunkt des Potentials genannt und kann beliebig festgelegt werden: Legt man beispielsweise die linke Kondensatorplatte in der obigen Abbildung als Nullpunkt des Potentials fest, so ist das Potential des Punktes P_1 nichts anderes als die Spannung zwischen der linken Platte und dem Punkt P_1. Das Potential im Punkt P_2 ist wiederum nichts anderes als die Spannung zwischen linker Kondensatorplatte und dem Punkt P_2.

Zwei Punkte, zwischen denen die Spannung 0 ist, liegen in obiger Abbildung auf einer Parallelen zu den Kondesatorplatten.
Auf allen Punkten dieser Parallelen htte die Ladung die selbe "elektrische potentielle Energie" bzw. das selbe Potential, da keine Arbeit verrichtet werden muss, um sie von einem Punkt zu einem anderen entlang einer dieser Parallelen zu verschieben. Man nennt die Parallele daher quipotentiallinie.

In der linken obigen Abbildungen haben also alle Punkte entlang derselben blauen Linie das selbe Potential. Zwischen ihnen ist die Spannung Null. Die blauen Linien sind parallel zur Kondensatorplatte. Verschiebt man entlang einer blauen Linie eine Ladung, muss also keine Arbeit verrichtet werden.

In der rechten oberen Abbildung ist die positiv geladene Platte des Kondensators halbkreisfrmig. Dadurch verformt sich das elektrische Feld. Die quipotentiallinien passen sich dem Verlauf des Feldes entsprechend an: Da ausschlielich bei einem zu den Feldlinien senkrechten Transport von Ladungen keine Arbeit verrichtet wird, verlaufen die quipotentiallinien immer senkrecht zu den Feldlinien des elektrischen Feldes.
Der Begriff des Potentials wird spter noch eine wichtige Rolle spielen.

Zusammengefasst:

  • Linien eines Feldes, zwischen deren Punkte die Spannung Null ist, nennt man quipotentiallinien. Im Dreidimensionalen nennt man entsprechende Flchen quipotentialflchen.
  • quipotentiallinien (bzw. Flchen) verlaufen immer senkrecht zu den Feldlinien.
  • Im homogenen Feld liegen die quipotentiallinien parallel zueinander.

Der Zusammenhand zwischen U, E und d beim Plattenkondensator

In diesem Abschnitt wollen wir eine Formel finden, mit der man die Strke des elektrischen Feldes zwischen zwei Kondensatorplatten berechnen kann.

Der Abstand zweier Kondensatorplatten sei d. Diese sind an der Gleichspannung U angeschlossen und werden von dieser Spannungsquelle geladen.
Gedanklich transportieren wir jetzt eine Probeladung q von einer Platte des Kondensators zur anderen Platte.
Darin verrichtet das Feld auf die Probeladung q, die Arbeit

Daraus folgt fr die Spannung zwischen den Platten:

Stellen wir diese Gleichung um, knnen wir bereits die Feldstrke E aus der am Kondensator anliegenden Spannung U und dem Plattenabstand d berechnen:

Hieraus erkennen wir auch direkt die Einheit der elektrischen Feldstrke. Sie hat keine eigene Bezeichnung, sondern lsst sich nur durch die uns bekannten Einheiten wie folgt darstellen.

D.h. ber die an einem Plattenkondensator anliegende Spannung lsst sich eine Aussage ber die Strke des E-Feldes machen.

Zusammengefasst:

  • Fr die Spannung zwischen zwei Punkten im elektrischen Feld der konstanten Feldstrke E, welche den Abstand d voneinander haben, gilt:

Der Zusammenhang zwischen Flchenladung und Feldstrke

Experiment: Eine Metallscheibe mit dem Radius r= 0,05m wird an die Innenflche einer Kondensatorscheibe gedrckt. Die auf dieser Flche befindlichen Ladungen werden mit der Scheibe abgehoben. Die auf der Scheibe befindliche Ladung wird gemessen.

Wovon hngt es vermutlich ab, wie viel Ladung auf die Scheibe passt?
Vermutungen:

  • Je grer die Spannung U, desto grer die Ladung Q auf der Metallscheibe (d konstant)
  • Je grer der Abstand d, desto kleiner die Ladung Q auf der Metallscheibe (U konstant)

Durchfhrung des Experiments, Mewerte:

Spannung UAbstand dFeldstrke E = U/dLadung auf Scheibe QSigma
2500 V4 cm62500 V/m4,7 nC5,89 * 10^-7 C/m^2
4000 V4 cm1000000 V/m7,1 nC9,04 * 10^-7 C/m^2
5500 V4 cm137500 V/m9,5 nC1,2 * 10^-6 C/m^2
2500 V2 cm125000 V/m9,5 nC1,2 * 10^-6 C/m^2
2500 V6 cm41666,7 V/m2,8 nC3,57 * 10^-7 C/m^2
4000 V6 cm66666,7 V/m4,1 nC5,22 * 10^-7 C/m^2
5500 V6 cm91666,7 V/m5,4 nC6,88 * 10^-7 C/m^2
10000V6 cm166666,7 V/m11,1 nC1,41 * 10^-6 C/m^2


Ergebnis:
Unsere Vermutungen sind korrekt. Zustzlich knnen wir folgende Aussage machen, welche beide Vermutungen kombiniert:
Die mit der Metallscheibe abgehobene Ladung Q ist proportional zur Strke des elektrischen Feldes E.

Zusammengefasst:

  • Die Gre der Ladung auf der Innenflche eines Kondensators ist proportional zur elektrischen Feldstrke E im Innern des Kondensators.

Die Flchenladung hngt tatschlich nur vom Feld E ab!!

Experiment:

Zwei Scheiben werden im homogenen Feld E senkrecht zu den Feldlinien zusammen gehalten. Wegen Influenz kommt es zu der in der Abbildung gezeigten Ladungstrennung.
Die Scheiben werden im Feld getrennt und die Ladungen gemessen.
Ergebnis und Schlussfolgerung:
Auf den Scheiben ist genau so viel Ladung wie auf einer gleich groen Flche der Kondensatorplatten.

Da an den Scheiben keine Spannung anliegt, sondern diese nur mit dem E-Feld wechselwirken, folgt:
Die Menge an Ladungen auf einer Metallflche hngt nur von der Strke des elektrischen Feldes ab, in welchem sich die Metallflche befindet.

Zusammengefasst:

  • Die Ladungsmenge, die sich auf einer Metalloberflche bildet, ist proportional zur elektrischen Feldstrke des Feldes, welches an dieser Oberflche endet.

Die Flchenladungsdichte

Die Flchenladungsdichte ist ein Ma dafr, wie dicht die Ladungen auf einer Flche sitzen:

Sie hat die Einheit

Whrend die Ladungsmenge auf einer Platte von ihrer Flche abhngt, ist die Flachenladungsdichte von der dieser Gre unabhngig. Bei gleicher Flche gilt:
Je grer die Flchenladungsadichte, desto grer die Ladung Q.

Zusammengefasst:

  • Die Flchenladungsdichte ist als Ladung pro Flche definiert.

Der Zusammenhang zwischen Flchenladungsdichte und Feldstrke

Im Experiment konnten wir zeigen, dass die Ladung auf einer Scheibe proportional zur Feldstrke steigt. Da die Flche konstant bleibt, steigt auch die Flchenladungsdichte proportional zur Feldstrke E, wie man aus der Tabelle des vorvergangenen Abschnitts erkennen kann.

Der neu eingefhrte Proportionalttsfaktor

heit "elektrische Feldkonstante". Sie kann mit den Messwerten aus der genannten Tabelle berechnet werden:

Dieser Konstanten kommt in der Physik eine besondere Bedeutung zu. Bei gleicher Feldstrke wird durch diese Konstante bestimmt, wie viele Ladungen durch die Feldkrfte auf eine Flche gezogen werden. Sie ist somit eine Zahl, welche die Strke der elektrischen Wechselwirkung bestimmt. Von ihr alleine hngt es ab, wie stark sich geladene Krper anziehen oder abstoen, wenn sie geladen sind. Da fast alle Vorgnge des Alltags von den elektrischen Krften abhngen, hat die Konstante eine groe Bedeutung fr unser Leben, ja sogar fr unsere Existenz.

Zusammengefasst:

  • Die Flchenladungsdichte einer Metalloberflche ist proportional zur Strke des Feldes E, in welcher sich die Oberflche befindet.
  • Die Proportionalittskonstante wird elektrische Feldkonstante genannt. Es handelt sich um eine Naturkonstante:

Die Kapazitt eines Kondensators

Wie viele Ladungen passen auf einen Plattenkondensator?
Wenn wir die Plattenflche A kennen, knnen wir diese Frage leicht mithilfe der Flchenladungsdichte und bekannter mathematischer Zusammenhnge beantworten.

Bei einem Kondensator mit bekannter Flche A und bekanntem Plattenabstand d knnen wir mit dieser Formel also berechnen, wie viele Ladungen Q auf den Platten sitzen, wenn die Spannung U am Kondensator anliegt.
Wir fhren folgende Abkrzung ein

wodurch sich die Formel fr die Kondensatorladung Q stark vereinfacht ausdrcken lsst:

Von der Gre

hngt es ab, wie viele Ladungen bei einer bestimmten Spannung auf den Kondensator passt. Sie heit deshalb auch Kapazitt des Kondensators und wird mit dem Symbol C abgekrzt. Die Kapazitt hat auch eine eigene Einheit, das Farad. Es setzt sich wie folgt aus den bekannten Einheiten zusammen.

Eine Kapazitt von 1 Farad bedeutet,dass der Kondensator bei einer Spannung von 1 Volt die Ladung 1 Coulomb speichert.

In technischen Anwendungen mchte man hufig besonders viele Ladungen speichern. Daher die Frage: Unter welchen Bedingungen ist die Kapazitt eines Kondensators besonders gro?
Eine Formel sagt mehr als tausend Worte...

  • Wenn die Flche A mglichst gro ist.
  • Wenn der Plattenabstand d mglichst klein ist.

Zusammengefasst:

  • Die Kapazitt eines Kondensators ist ein Ma fr die Gre eines Kondensators.
  • Fr die Ladung Q, die bei einer anliegenden Spannung U auf den Kondensator passt, gilt die Beziehung

Dieelektrizittszahl

Gibt es weitere Mglichkeiten, die Kapazitt eines Kondensators zu vergrern?

Experiment: \\ Wir messen die Kapazitt ein und desselben Plattenkondensators unter zwei Bedingungen:

  • Mithilfe der im vergangenen Abschnitt hergeleiteten Formel
    wird die Kapazitt des Kondensators bestimmt.
  • Anschlieend wird eine Plexiglasscheibe zwischen die Kondensatorplatten eingeschoben und der Vorgang bei gleicher Spannung U wiederholt:


Ergebnis: Durch die Plexiglasscheibe hat sich die Kapazitt um einen Faktor, den wir mit dem Symbol

abkrzen, erhht. Diese Zahl ist vom eingeschobenen Stoff abhngig und wird Dielektrizittszahl genannt. Schieben wir Materialien mit besonders hohen Dielektrizittszahlen zwischen die Platten eines Kondensators, knnen wir seine Kapazitt folglich weiter erhhen. Hier die Dielektrizittszahlen ausgewhlter Materialien:

StoffDielektrozittszahl
Luft1,00058
Wachs2
Glas5 bis 16
Alkohol26
Wasser81
Keramik mit BgSr10000


Daraus folgt fr die Kapazitt eines Kondensators

und fr seine Flchenladungsdichte:

Allgemein nennt man Stoffe, die auf die beschriebene Art die Kapazitt von Kondensatoren erhhen knnen, Dielektrika.

Zusammengefasst:

  • Durch Dielektrika kann die Kapazitt von Kondensatoren um einen materialabhngigen Faktor epsilonr erhht werden, welcher Dielektrizittszahl genannt wird.
  • Fr Kapazitt und Flchenladungsdichte eines Plattenkondensators mit Flche A und Plattenabstand d gilt:

Mikroskopische Betrachtung von Isolatoren in elektrischen Feldern

Weshalb erhht sich die Kapazitt eines Plattenkondensators, wenn man ein Dielektrikum in sein Feld schiebt?

Die Atome der Isolatoren bestehen aus einem positiv geladenen Kern (+) und einer negativ geladenen Hlle um den Kern herum (grau schraffiert).
Zwar sind die Elektronen der Hlle in Elektronenwolken an ihre Atome gebunden, allerdings verschieben sich die Elektronenwolken leicht zur positiven Platte. Dadurch wird die in der Abbildung linke Isolatorseite negativ, die rechte positiv geladen. Diese Ladungen ziehen zustzliche Ladungen auf die Platten des Kondensators.
Das durch die Polarisationsladungen des Isolators entstehende innere Feld schwcht im Isolator das durch den Kondensator verursachte Feld ab.

Zusammengefasst:

  • Durch innermolekulare und -atomare Ladungsverschiebungen vergrern Dielektrika die Kapazitt von Kondensatoren.

Die in Kondensatoren gespeicherte Energie

Bruchte man zum Laden eines Kondensators immer die gleiche Spannung U, knnte man leicht ausrechnen, wie viel Energie auf ihn gespeichert wre, wenn man die Ladung Q auf ihn ldt; denn Spannung ist schlielich als Arbeit pro Ladung definiert.

Gehen wir zunchst einmal davon aus, ein Kondensator wrde fortlaufend mit einer gleich bleibenden Spannung geladen werden. Dann wrde die Ladung bei konstanter Spannung immer weiter ansteigen und in einem Diagramm, bei welchem auf die x-Achse die Ladung Q und auf die y-Achse die anliegende Spannung aufgetragen wird, wrde wie folgt aussehen.

Wird der Kondensator bis zur Ladung Q geladen, so wrde fr diesen Vorgang die Arbeit Q*U verrichtet werden. Dies entspricht aber gerade der Flche im Q-U-Diagramm!
Das heit, wir knnen die verrichtete Arbeit aus einem solchen Diagramm leicht ablesen, indem wir die vom Graphen mit der x-Achse eingeschlossene Flche bestimmen.

Die Spannung bleibt beim Laden eines Kondensators aber entgegen der oben gemachten Annahme nicht gleich: Man bentigt zum Laden eines Kondensators eine um so grere Spannung, je mehr Ladung sich auf ihm befindet. Wegen

bentigt man die Spannung
, die linear mit Q anwchst. Das Q-U-Diagramm sieht also in Wirklichkeit wie folt aus:

Wie viel Arbeit wird beim Laden also verrichtet? Zum Glck haben wir gerade gesehen, dass die verrichtete Arbeit der Flche im Diagramm entspricht. D.h.:

Zusammengefasst:

  • In Kondensatoren wird elektrische Energie gespeichert. Die Menge an elektrischer Energie lsst sich ber folgende Formel berechnen:

Die Energiedichte des elektrischen Feldes

Faraday ging davon aus, dass die Energie eines Kondensators nicht auf den Platten, sondern im Feld des Kondensator gespeichert ist und somit den Zwischenraum zwischen den Platten durchsetzt:

Wenn dies tatschlich so ist, msste die in einem Kondensator gespeicherte Energie proportional zum Volumen des Zwischenraums sein, den das Feld durchsetzt.
Mit

und

erhalten wird durch Einsetzen:

und wegen V = A * d

Die im Kondensator gespeicherte Energie ist also tatschlich proportional zum Volumen V. Dies ist ein weiteres Indiz dafr, dass Faraday mit seiner Feldtheorie Recht hatte!

Wenn die Energie im Feld steckt, knnen wir auch eine Energiedichte angeben!
Die Energiedichte des elektrischen Feldes gibt in diesem Zusammenhang an, wie viel Energie pro Volumeneinheit im Feld gespeichert ist:

Zusammengefasst:

  • Die in einem Kondensator gespeicherte Energie sitzt im Feld des Kondensators.
  • Die Energie, die pro Raumvolumen gespeichert wird, nennt man Energiedichte. Ist die Strke des Feldes E, so lsst sich die Energiedichte durch die folgende Formel berechnen.

Die Elektronenkanone

In den vorhergehenden Abschnitten haben wir Elektronen als "Stoff" erkannt, der beim elektrischen Strom durch die Leitung fliet. Es sind frei bewegliche Ladungstrger. Wir haben auch bereits eine Methode kennen gelernt, sie mithilfe der Glhemission aus einen Glhdraht zu befrdern.
In diesem Abschnitt wollen wir sie nicht nur aus einem Glhdraht herauslsen - unser Ziel ist es, einen Strahl aus reinen Elektronen zu erzeugen! Und wie machen wir das? - Nun, die folgende Abbildung gibt Aufschluss darber!

Die Idee:

  • ber einen Glhdraht Eletronen auslsen
  • Die Elektronen im elektrischen Feld zweier Kondensatorplatten beschleunigen
  • Die Elektronen durch eine Lcke in der hinteren Platte rausfliegen lassen


... wenn wir das so machen: Wie schnell werden die Elektronen dann?
Berechnung der Geschwindigkeit der Elektronen:

  • Weil die Elektronen die Spannungsdifferenz U_a durchlaufen, verrichtet das Feld an ihnen die Beschleunigungsarbeit
  • Durch die Beschleunigungsarbeit wird elektrische Energie in kinetische Energie umgewandelt. Am Ende der Beschleunigungsphase hat das Elektron mit der Geschwindigkeit v die Energie:
  • Nach der Beschleunigungsphase entspricht die kinetische Energie der Beschleunigungsarbeit, die an dem Elektron verrichtet wurde.
  • Umstellen nach v ergibt:

Experiment und Beobachtung: Die Elektronen in einem Experiment werden mit U_a=5000V beschleunigt. Wir sehen am Leuchtschirm einen Punkt, der durch den Aufprall der Elektronen verursacht wird.
Berechnung der Geschwindigkeit:
Hierzu bentigen wir die Ladung und die Masse eines Elektrons. Spter wird gezeigt, wie man die Gren experimentell ermittelt - hier nutzen wir sie, um die Geschwindigkeit der Elektronen im Elektronenstrahl zu berechnen:
Ladung:


Masse:

Hinweise:

  • Bei noch hheren Beschleunigungsspannungen muss relativistisch gerechnet werden.
  • In der Literatur wird die "Elektronenkanone" in der Regel Elektronenrhre genannt.
  • Der Elektronenstrahl wird in der Literatur oft Kathodenstrahl genannt.

Zusammengefasst:

  • Mit Elektronenrhren knnen freie, mit hoher Geschwindigkeit fliegende Elektronen erzeugt werden.
  • Der so entstehende Elektronenstrahl wird Kathodenstrahl genannt.

Die Einheit Elektronenvolt

Ein Elektronenvolt (kurz: eV) ist die Arbeit, die ein elektrisches Feld an der Ladung 1e verrichtet, wenn diese von einem Punkt zu einem anderen Punkt mit der Spannung 1V zwischen diesen beiden Punkten bewegt wird. Durchluft ein Teilchen der Ladung 1e die Spannung, so erhht sich seine kinetische Energie um 1eV.

Das Ablenksystem einer Brownischen Rhre

Die Elektronenkanone aus Aufgabe 25 erzeugt sogenannte Elektronenstrahlen, die auch Kathodenstrahlen genannt werden. In alten Fernsehrgerten leuchten diese Kathodenstrahlen die Mattscheibe aus, indem sie sehr schnell zeilenfrmig von links oben nach rechts unten gelenkt wurden und auf der Scheibe an der jeweiligen Position einen Punkt zum Leuchten brachten. Heute findet die Ablenkung der Sttrahlen noch in Elektroskopen Anwendung. Doch wie knnte man solche Kathodenstrahlen ablenken?

Exp: Ein Kathodenstrahl wird von einem homogenen el. Feld abgelenkt.

Flugbahnberechnung:

  • Die Elektronen wurden durch die Beschleunigungsspannung Ua auf die Geschwindigkeit in x-Richtung
  • Wegen der Platten wirkt in y-Richtung die Kraft
  • Diese beschleunigt die Elektronen gem
  • In x-Richtung legen die Elektronen in der Zeit t die Strecke
    zurck. Fr die Breite der Platten bentigen sie daher die Zeit
    .
  • Whrend dieser Zeit beschleunigen sie mit a_y. Sie erreichen nach der Zeit t_p die Geschwindigkeit in y-Richtung:
  • Am Ende der Kondensatorplatten haben die Elektronen dann den folgenden Weg in y-Richtung zurckgelegt:
  • Als nchstes ersetzen wir v_x durch die Geschwindigkeitsformel ganz oben und krzen...

Dies ist die Bahngleichung des Elektrons. Ist die Plattenlnge l_x, der Plattenabstand d_y, die Ablenkspannung U_y und die Beschleunigungsspannung U_a bekannt, lsst sich jeder Punkt, den die Elektronenbahn nimmt, darber berechnen. Anhand der Gleichung erkennen wir das berraschende Ergebnis:
Der Verlauf des Kathodenstrahls in y-Richtung ist unabhngig von Masse und Ladung der Ladungstrger.

Zusammengefasst:

  • Kathodenstrahlen knnen mithilfe des Ablenksystems einer Brown'schen Rhre auf genau berechenbaren Bahnen abgelenkt werden.